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利用导数证明不等式 ( 精选多篇 )
第一篇：利用导数证明不等式
利用导数证明不等式没分都没人答埃。。觉得可以就给个好评 !
最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值 ( 或者是最小值 ) 大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了 !
1. 当 x>1 时 , 证明不等式 x>ln(x+1)
设函数 f(x)=x-ln(x+1)
求导， f(x)’=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以 f(x) 在 (1 ， + 无穷大 ) 上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以 x>ln(x+1
2.. 证明： a-a[1] 其中 0
f(a)=a-a[1]
f’(a)=1-2a
当 00; 当 1/2
因此， f(a)min=f(1/2)=1/4>0
即有当 00
3.x>0, 证明：不等式 x-x
/6
先证明 sinx
因为当 x=0 时， sinx-x=0
如果当函数 sinx-x 在 x>0 是减函数，那么它一定 < 在 0 点的值 0 ，
求导数有 sinx-x 的导数是 cosx-1
因为 cosx-1≤0
所以 sinx-x 是减函数，它在 0 点有最大值 0 ，
知 sinx
再证 x-x³/6
对于函数 x-x³/6-sinx
当 x=0 时，它的值为 0
对它求导数得
1-x²/2-cosx 如果它 <0 那么这个函数就是减函数，它在 0 点的值是最大值了。
要证 x²/2+cosx-1>0x>0
再次用到函数关系，令 x=0 时， x²/2+cosx-1 值为 0
再次对它求导数得 x-sinx
根据刚才证明的当 x>0sinx
x²/2-cosx-1 是减函数，在 0 点有最大值 0
x²/2-cosx-1<0x>0
所以 x-x³/6-sinx 是减函数，在 0 点有最大值 0
得 x-x³/6
利用函数导数单调性证明不等式 x-x²>0 ， x ∈ (0,1) 成立
令 f(x)=x-x²x ∈
则 f’(x)=1-2x
当 x ∈ 时 ,f’(x)>0,f(x) 单调递增
当 x ∈ 时 ,f’(x)<0,f(x) 单调递减
故 f(x) 的最大值在 x=1/2 处取得，最小值在 x=0 或 1 处取得
f(0)=0,f(1)=0
故 f(x) 的最小值为零
故当 x ∈ (0,1)f(x)=x-x²>0 。
i 、 m 、 n 为正整数，且 1
第二篇：利用导数证明不等式
克维教育（ 82974566 ）中考、高考培训专家铸就孩子辉煌的未来
函数与导数（三）
核心考点五、利用导数证明不等式
一、函数类不等式证明
函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 f(x)?g(x) （ f(x)?g(x) ）的问题转化为证明 f(x)?g(x)?0 （ f(x)?g(x)?0 ），进而构造辅助函数 h(x)?f(x)?g(x) ，然后利用导数证明函数 h(x) 的单调性或证明函数 h(x) 的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。
例 1 、已知函数 f(x)?lnx?ax2?(2?a)x
（ 1 ）讨论函数 f(x) 的单调性；
（ 2 ）设 a?0 ，证明：当 0?x?111 时， f(?x)?f(?x) ； aaa
（ 3 ）若函数 f(x) 的图像与 x 轴交于 a 、 b 两点，线段 ab 中点的横坐标为 x0 ，
证明： f`(x0)?0
【变式 1 】已知函数 f(x)?ln(x?1)?x ，求证：恒有 1?1?ln(x?1)?x 成立。 x?1
x 【变式 2 】（ 1 ） x?0 ，证明： e?1?x
x2
?ln(1?x)(2)x?0 时，求证： x?2
二、常数类不等式证明
常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式 f(a)?f(b) 的问题，在根据 a,b 的不等式关系和函数 f(x) 的单调性证明不等式。 例 2 、已知 m?n?e, ，求证： n?m
例 3 、已知函数 f(x)?ln(x?1)?
（ 1 ）求 f(x) 的极小值；
（ 2 ）若 a,b?0 ，求证： lna?lnb?1?
mnx ， 1?xb a
【变式 3 】已知 f(x)?lnx ， g(x)?127 ，直线 l 与函数 f(x) 、 g(x) 的 x?mx? （ m?0 ） 22
图像都相切，且与函数 f(x) 的图像的切点的横坐标为 1 ．
（ ⅰ ）求直线 l 的方程及 m 的值；
（ ⅱ ）若 h(x)?f(x?1)?g?(x) （其中 g?(x) 是 g(x) 的导函数），求函数 h(x) 的最大值； （ ⅲ ）当 0?b?a 时，求证： f(a?b)?f(2a)?b?a ． 2a
【变式 4 】求证：
b?ab?lnba?b?aa(0?a?b)
1?x)?x?0(x??1) 【变式 5 】证明： ln(
ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1) 【引申】求证： 2?2???2?(n?2,n?n*) 23n2(n?1)
【变式 6 】当 t?1 时，证明： 1??lnt?t?1 1t
x21(x?1) ，各项不为零的数列 ?an? 满足 4sn?f()?1 ， 【引申】已知函数 f(x)?an2(x?1)
1n?11 （ 1 ）求证： ??ln?? ； an?1nan
（ 2 ）设 bn??1 ， tn 为数列 ?bn? 的前 n 项和，求证： t2014?1?ln2014?t2014 。 an
第三篇：导数的应用 —— 利用导数证明不等式
导 数
的 应 用 - 利用导数证明不等式
1 、利用导数判断函数的单调性；
2 、利用导数求函数的极值、最值；
引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一 . 尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题 . 因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性 , 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解 . 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题．
下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用．
三、例题分析
1 、利用导数得出函数单调性来证明不等式
x2 例 1 ：当 x>0 时 , 求证： x? ＜ ln(1+x) . 2
x2x2’ 证明：设 f(x)= x? － ln(1+x)(x>0), 则 f(x)=? ． 21?x
‘ ∵ x>0, ∴ f(x)<0, 故 f(x) 在（ 0 ， +∞ ）上递减，
x2 所以 x>0 时 ,f(x)<f(0)=0 ，即 x? － ln(1+x)<0 成立． 2
小结：把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的．
随堂练习：课本 p32 ： b 组第一题第 3 小题
2 、利用导数解决不等式恒成立问题（掌握恒成立与最值的转化技巧；构造函数证明不等式）
1 例２．已知函数 f(x)?aex?x2 2
(1) 若 f(x) 在 r 上为增函数 , 求 a 的取值范围 ;
(2) 若 a=1, 求证 :x ＞ 0 时 ,f(x)>1+x
解： (1)f′(x) ＝ aex －ｘ，
∵ ｆ（ｘ）在ｒ上为增函数， ∴ f′(x)≥ ０对ｘ ∈ ｒ恒成立，
即ａ ≥ ｘｅ - ｘ对ｘ ∈ ｒ恒成立
记ｇ（ｘ）＝ｘｅ - ｘ，则ｇ ′( ｘ ) ＝ｅ - ｘ－ｘｅ - ｘ =(1-x)e-x ，
当ｘ＞１时，ｇ ′ （ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ ′ （ｘ）＞０．
知ｇ（ｘ）在 (-∞,1) 上为增函数 , 在 (1,+ ∞) 上为减函数 ,
∴ g(x) 在 x=1 时 , 取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e, ∴ a≥1/e,
即 a 的取值范围是 [1/e, + ∞)
1(2) 记 f(x)=f(x) － (1+x) =ex?x2?1?x(x?0) 2
则 f′(x)=ex-1-x,
令 h(x)=
f′(x)=ex-1-x, 则 h′(x)=ex-1
当 x>0 时 , h′(x)>0, ∴ h(x) 在 (0,+ ∞) 上为增函数 ,
又 h(x) 在 x=0 处连续 , ∴ h(x)>h(0)=0
即 f′(x)>0
, ∴ f(x) 在 (0,+ ∞) 上为增函数 , 又 f(x) 在 x=0 处连续 , ∴ f(x)>f(0)=0, 即 f(x)>1+x ．
小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 m?f(x)( 或 m?f(x)) 恒成立，于是
，从而把不等式恒成立问题转化为 m 大于 f(x) 的最大值（或 m 小于 f(x) 的最小值）
求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．
例 3 ．（全国）已知函数 f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx
(1) 求函数 f(x) 的最大值；
a?b)?(b?a)ln2. 2
分析：对于（ ii ）绝大部分的学生都会望而生畏 . 学生的盲点也主要就在对所给函数用不上 . 如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的 . 证明如下： (2) 设 0?a?b, 证明 ： 0?g(a)?g(b)?2g(
证明：对 g(x)?xlnx 求导 , 则 g’(x)?lnx?1. 在 g(a)?g(b)?2g(a?b) 中以 b 为主变元构造函数 , 2
2 设 f(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x), 则 f’(x)?g’(x)?2[g(a?x)]’?lnx?lna?x. 22
当 0?x?a 时， f’(x)?0, 因此 f(x) 在 (0,a) 内为减函数 .
当 x?a 时 ,f’(x)?0, 因此 f(x) 在 (a,??) 上为增函数 .
从而当 x?a 时 , f(x) 有极小值 f(a).
因为 f(a)?0,b?a, 所以 f(b)?0, 即 g(a)?g(b)?2g(
2a?b)?0. 2 又设 g(x)?f(x)?(x?a)ln2. 则 g’(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x).
当 x?0 时 ,g’(x)?0. 因此 g(x) 在 (0,??) 上为减函数 .
因为 g(a)?0,b?a, 所以 g(b)?0, 即 g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2
综上结论得证。
对于看起来无法下手的一个不等式证明，对其巧妙地构造函数后，运用导数研
究了它的单调性后，通过利用函数的单调性比较函数值的大小 , 使得问题得以简单解决 .
四、课堂小结
1 、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题 , 关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；
2 、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；
3 、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式；
总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现．
五、思维拓展
ax2
x?e(x?0) ；
（ 2014 联考）已知函数 f(x)?e?x?1(x?0) ， g(x)?2x （ 1 ） 求证：当 a?1 时对于任意正实数 x,
f(x) 的图象总不会在 g(x) 图象的上方；
（ 2 ） 对于在（ 0 ， 1 ）上任意的 a 值，问是否存在正实数 x 使得 f(x)?g(x) 成立？
如果存在，求出符合条件的 x 的一个取值；否则说明理由。
第四篇：导数的应用 —— 利用导数证明不等式 1
导 数
的 应 用
-------- 利用导数证明不等式
教学目标： 1 、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式
2 、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力；
教学重点：利用导数证明不等式
教学难点：利用导数证明不等式
教学过程：
一、复习回顾
1 、利用导数判断函数的单调性；
2 、利用导数求函数的极值、最值；
二、新课引入
引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一 . 尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题 . 因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性 , 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解 . 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题．
下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用．
三、新知探究
1 、利用导数得出函数单调性来证明不等式
x2 例 1 ：当 x>0 时 , 求证： x? ＜ ln(1+x) . 2
x2x2’ 证明：设 f(x)= x? － ln(1+x)(x>0), 则 f(x)=? ． 21?x
‘ ∵ x>0, ∴ f(x)<0, 故 f(x) 在（ 0 ， +∞ ）上递减，
x2 所以 x>0 时 ,f(x)<f(0)=0 ，即 x? － ln(1+x)<0 成立． 2
小结：把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的．
随堂练习：课本 p32 ： b 组第一题第 3 小题
2 、利用导数解决不等式恒成立问题（掌握恒成立与最值的转化技巧；构造函数证明不等式）
1 例２．已知函数 f(x)?aex?x2 2
(1) 若 f(x) 在 r 上为增函数 , 求 a 的取值范围 ;
(2) 若 a=1, 求证 :x ＞ 0 时 ,f(x)>1+x
解： (1)f′(x) ＝ aex －ｘ，
∵ ｆ（ｘ）在ｒ上为增函数， ∴ f′(x)≥ ０对ｘ ∈ ｒ恒成立，
即ａ ≥ ｘｅ - ｘ对ｘ ∈ ｒ恒成立
记ｇ（ｘ）＝ｘｅ - ｘ，则ｇ ′( ｘ ) ＝ｅ - ｘ－ｘｅ - ｘ =(1-x)e-x ，
当ｘ＞１时，ｇ ′ （ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ ′ （ｘ）＞０．
知ｇ（ｘ）在 (-∞,1) 上为增函数 , 在 (1,+ ∞) 上为减函数 ,
∴ g(x) 在 x=1 时 , 取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e, ∴ a≥1/e,
即 a 的取值范围是 [1/e, + ∞)
1(2) 记 f(x)=f(x) － (1+x) =ex?x2?1?x(x?0) 2
则 f′(x)=ex-1-x,
令 h(x)=
f′(x)=ex-1-x, 则 h′(x)=ex-1
当 x>0 时 , h′(x)>0, ∴ h(x) 在 (0,+ ∞) 上为增函数 ,
又 h(x) 在 x=0 处连续 , ∴ h(x)>h(0)=0
即 f′(x)>0
, ∴ f(x) 在 (0,+ ∞) 上为增函数 , 又 f(x) 在 x=0 处连续 , ∴ f(x)>f(0)=0, 即 f(x)>1+x ．
小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 m?f(x)( 或 m?f(x)) 恒成立，于是
，从而把不等式恒成立问题转化为 m 大于 f(x) 的最大值（或 m 小于 f(x) 的最小值）
求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．
例 3 ．（ 2014 年全国）已知函数 f(x)?ln(1?x)?x,g(x)?xlnx
(1) 求函数 f(x) 的最大值；
a?b)?(b?a)ln2. 2
分析：对于（ ii ）绝大部分的学生都会望而生畏 . 学生的盲点也主要就在对所给函数用不上 . 如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的 . 证明如下： (2) 设 0?a?b, 证明 ： 0?g(a)?g(b)?2g(
证明：对 g(x)?xlnx 求导 , 则 g’(x)?lnx?1. 在 g(a)?g(b)?2g(a?b) 中以 b 为主变元构造函数 , 2
2 设 f(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x), 则 f’(x)?g’(x)?2[g(a?x)]’?lnx?lna?x. 22
当 0?x?a 时， f’(x)?0, 因此 f(x) 在 (0,a) 内为减函数 .
当 x?a 时 ,f’(x)?0, 因此 f(x) 在 (a,??) 上为增函数 .
从而当 x?a 时 , f(x) 有极小值 f(a).
因为 f(a)?0,b?a, 所以 f(b)?0, 即 g(a)?g(b)?2g(
2a?b)?0. 2 又设 g(x)?f(x)?(x?a)ln2. 则 g’(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x).
当 x?0 时 ,g’(x)?0. 因此 g(x) 在 (0,??) 上为减函数 .
因为 g(a)?0,b?a, 所以 g(b)?0, 即 g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2
综上结论得证。
对于看起来无法下手的一个不等式证明，对其巧妙地构造函数后，运用导数研究了它的单调性后，通过利用函数的单调性比较函数值的大小 , 使得问题得以简单解决 .
四、课堂小结
1 、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题 , 关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；
2 、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；
3 、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式；
总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现．
五、思维拓展
ax2
x?e(x?0) ；
（ 2014 联考）已知函数 f(x)?e?x?1(x?0) ， g(x)?2x （ 1 ） 求证：当 a?1 时对于任意正实数 x,
f(x) 的图象总不会在 g(x) 图象的上方；
（ 2 ） 对于在（ 0 ， 1 ）上任意的 a 值，问是否存在正实数 x 使得 f(x)?g(x) 成立？
如果存在，求出符合条件的 x 的一个取值；否则说明理由。
第五篇：利用导数证明不等式的常见题型经典
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
技巧精髓
1 、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2 、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
一、利用题目所给函数证明
【例 1 】 已知函数 f(x)?ln(x?1)?x ，求证：当 x??1 时，恒有
1?1?ln(x?1)?x x?1
分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数
1?1 ，从其导数入手即可证明。 x?1
1x 【绿色通道】 f?(x)??1??x?1x?1g(x)?ln(x?1)?
∴ 当 ?1?x?0 时， f?(x)?0 ，即 f(x) 在 x?(?1,0) 上为增函数
当 x?0 时， f?(x)?0 ，即 f(x) 在 x?(0,??) 上为减函数
故函数 f(x) 的单调递增区间为 (?1,0) ，单调递减区间 (0,??)
于是函数 f(x) 在 (?1,??) 上的最大值为 f(x)max?f(0)?0 ，因此，当 x??1 时， f(x)?f(0)?0 ，即 ln(x?1)?x?0 ∴ ln(x?1)?x
（右面得证）， 现证左面，令 g(x)?ln(x?1)?11x1?? ?1 ， 则 g?(x)?22x?1(x?1)x?1(x?1)
当 x?(?1,0) 时 ,g?(x)?0; 当 x?(0,??) 时 ,g?(x)?0 ，
即 g(x) 在 x?(?1,0) 上为减函数，在 x?(0,??) 上为增函数，
故函数 g(x) 在 (?1,??) 上的最小值为 g(x)min?g(0)?0 ，
1?1?0 x?1
11 ∴ ln(x?1)?1? ，综上可知，当 x??1 时 , 有 ?1?ln(x?1)?xx?1x?1
【警示启迪】如果 f(a) 是函数 f(x) 在区间上的最大（小）值，则有 f(x)?f(a) （或 f(x)?f(a) ），
那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 0 就可得证． ∴ 当 x??1 时， g(x)?g(0)?0 ，即 ln(x?1)?
2 、直接作差构造函数证明
【例 2 】已知函数 f(x)?
图象的下方；
第 1 页 共 4 页 122x?lnx. 求证：在区间 (1,??) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x)?x3 的 23
分析：函数 f(x) 的图象在函数 g(x) 的图象的下方 ? 不等式 f(x)?g(x) 问题， 12212x?lnx?x3 ，只需证明在区间 (1,??) 上，恒有 x2?lnx?x3 成立，设 2323
1f(x)?g(x)?f(x) ， x?(1,??) ，考虑到 f(1)??0 6
要证不等式转化变为：当 x?1 时， f(x)?f(1) ，这只要证明： g(x) 在区间 (1,??) 是增函数即可。
21 【绿色通道】设 f(x)?g(x)?f(x) ，即 f(x)?x3?x2?lnx ， 32 即
1(x?1)(2x2?x?1) 则 f?(x)?2x?x?= xx2
(x?1)(2x2?x?1) 当 x?1 时， f?(x)= x
从而 f(x) 在 (1,??) 上为增函数， ∴ f(x)?f(1)?
∴ 当 x?1 时 g(x)?f(x)?0 ，即 f(x)?g(x) ，
故在区间 (1,??) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x)?1?0 623x 的图象的下方。 3
【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），
并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设 f(x)?f(x)?g(x) 做一做，深刻体会其中的思想方法。
3 、换元后作差构造函数证明
111 都成立 . ?nn2n3
1 分析：本题是山东卷的第（ ii ）问，从所证结构出发，只需令 ?x ，则问题转化为：当 x?0 时，恒 n 【例 3 】（ 2014 年，山东卷）证明：对任意的正整数 n ，不等式 ln(?1)?
有 ln(x?1)?x?x 成立，现构造函数 h(x)?x?x?ln(x?1) ，求导即可达到证明。
【绿色通道】令 h(x)?x?x?ln(x?1) ， 322332
13x3?(x?1)2
? 则 h?(x)?3x?2x? 在 x?(0,??) 上恒正， x?1x?12
所以函数 h(x) 在 (0,??) 上单调递增， ∴ x?(0,??) 时，恒有 h(x)?h(0)?0 ，
即 x?x?ln(x?1)?0 ， ∴ ln(x?1)?x?x
对任意正整数 n ，取 x?32231111?(0,??) ，则有 ln(?1)?2?3 nnnn
【警示启迪】我们知道，当 f(x) 在 [a,b] 上单调递增，则 x?a 时，有 f(x)?f(a) ．如果 f(a) ＝ ?(a) ，要证明当 x?a 时， f(x)??(x) ，那么，只要令 f(x) ＝ f(x) － ?(x) ，就可以利用 f(x) 的单调增性来推导．也就是说，在 f(x) 可导的前提下，只要证明 f’(x)? ０即可．
4 、从条件特征入手构造函数证明
【例 4 】若函数 y=f(x) 在 r 上可导且满足不等 ( 版权归 91 考试网 Www.91exam.org) 式 xf?(x)> － f(x) 恒成立，且常数 a ， b 满足 a>b ，求
证：． af(a)>bf(b)
【绿色通道】由已知
xf?(x)+f(x)>0 ∴ 构造函数
f(x)?xf(x) ，
则 f(x)?
xf?(x)+f(x)>0 ， 从而 f(x) 在 r 上为增函数。 ‘
?a?b ∴ f(a)?f(b) 即 af(a)>bf(b)
【警示启迪】由条件移项后 xf?(x)?f(x) ，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数 f(x)?xf(x) ，
求导即可完成证明。若题目中的条件改为 xf?(x)?f(x) ，则移项后 xf?(x)?f(x) ，要想到
是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。
【思维挑战】
21 、（ 2014 年，安徽卷） 设 a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx
求证：当 x?1 时，恒有 x?lnx?2alnx?1 ，
2 、（ 2014 年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数 2
f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b, 其中 a>0 ，且 b?a?3alna ， 22
求证： f(x)?g(x)
3 、已知函数 f(x)?ln(1?x)?
恒有 lna?lnb?1?x ，求证：对任意的正数 a 、 b ， 1?xb. a
4 、（ 2014 年，陕西卷） f(x) 是定义在（ 0 ， +∞ ）上的非负可导函数，且满足 xf?(x)?f(x)≤0 ，对任意正数 a 、 b ，若 a < b ，则必有（）
（ a ） af (b)≤bf (a) （ c ） af (a)≤f (b)
【答案咨询】
1 、提示： f?(x)?1?
∴ （ b ） bf (a)≤af (b) （ d ） bf (b)≤f (a)
2lnx2a2lnx ，当 x?1 ， a?0 时，不难证明 ??1 xxxf?(x)?0 ，即 f(x) 在 (0,??) 内单调递增，故当 x?1 时，
2f(x)?f(1)?0 ， ∴ 当 x?1 时，恒有 x?lnx?2alnx?1
3a21222 、提示：设 f(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b 则 f?(x)?x?2a? x2
(x?a)(x?3a)= (x?0) ?a?0 ， ∴ 当 x?a 时， f?(x)?0 ， x
故 f(x) 在 (0,a) 上为减函数，在 (a,??) 上为增函数，于是函数 f(x)
在 (0,??) 上的最小值
是 f(a)?f(a)?g(a)?0 ，故当 x?0 时，有 f(x)?g(x)?0 ，即 f(x)?g(x)
3 、提示：函数 f(x) 的定义域为 (?1,??) ， f?(x)?11x ??221?x(1?x)(1?x)
∴ 当 ?1?x?0 时， f?(x)?0 ，即 f(x) 在 x?(?1,0) 上为减函数
当 x?0 时， f?(x)?0 ，即 f(x) 在 x?(0,??) 上为增函数
因此在 x?0 时 ,f(x) 取得极小值 f(0)?0 ，而且是最小值 x1 ，即 ln(1?x)?1? 1?x1?x
a1bab 令 1?x??0, 则 1??1? 于是 ln?1?
bx?1aba
b 因此 lna?lnb?1? a 于是 f(x)?f(0)?0, 从而 ln(1?x)?
xf’(x)?f(x)f(x)f(x)4 、提示： f(x)? ， f?(x)? ，故在（ 0 ， +∞ ）上是减函数，由 ?0f(x)?2xxx
a?b 有 f(a)f(b)?? af (b)≤bf (a) 故选（ a ） ab
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同意户口迁出证明 ( 精选多篇 )
第一篇：同意户口迁出证明
同意户口迁出证明由本人持 (1) 落户申请书 ;(2) 被投靠人所在单位或街道办
户口迁移证流程事处出具的证明 ;(3) 投靠人原籍户籍证明 ;(4) 结婚证原件、复印件 ;(5) 双方身份证复印件 ;(6) 投靠人原籍街道办事处出具的无业证明 ;(7) 投靠人户口是兵团的，由兵团劳动和社会保障局出具无业证明，到所在派出所申报，由户籍警核实后填写 “ 申请入户审批表 ” 的签署意见，并由户籍警给申报人填写《办理户口、居民身份证责任书》交申报人，申报材料经所长审核后，上报分 ( 县 ) 公安局审批并打印准迁证下发各派出所，申报人凭《办理户口、居民身份证责任书》回执领取准迁证。居民、职工家属申报 “ 农转非 ” 落户须知：由本人持 (1) 落户申请书 ;(2) 被投靠人所在单位或街道办事处出具的证明 ;(3) 投靠人原籍户籍证明： (4) 结婚证原件、复印件 ;(5) 双方身份证复印件 ;(6) 投靠人户口是兵团的，由兵团劳动和社会保障局出具无业证明，到所在派出所申报，由户籍警核实后填写 “ 申请入户审批表 ” 的签署意见，并由户籍警给申报人填写《办理户口、居民身份证责任书》交申报人，申报材料经所长审核后，上报分 ( 县 ) 公安局审批并打印准迁证下发各派出所，申报人凭《办理户口、居民身份证责任书》回执领取准迁证。
补办户口迁移证程序办理 “ 农转非 ” 需要的相关手续： (1) 申请书 ;(2) 原派出所出具的户籍证明 (3) 暂住证 (4) 由所在乡计生站出具的《流动人口婚育证》 (4) 房产证 (5) 身份证复印件 (6) 用《流动人口婚育证》在街道办事处换榷计生回执单》 (7) 迁移地派出所管段民 - 警填写的 “ 入户审批表 ”(8) 一寸近期免冠照片 4 张
成建制单位搬迁落户：
由申请单位向人民政府写出报告，市公安局根据政府批准文件和落户花名册审核提出意见，报政府批准，由市公安局会同有关单位批准后，到派出所落户。
我国户口登记制度实行在常住地登记户口的原则。公民常住地发生变化以后，应将户口迁移到现住地，即进行户口迁移。我国户口迁移政策内容十分广泛，涵盖了干部、职工及其家属、学生、军人及其家属等各类群体，而且由于落户地的不同，具体办理程序也略有差别。因此建议公民在办理有关户口迁移手续时，查询当地户口登记机关提供的有关信息。
分析：以上信息可以知道不同的群里都可以户籍迁移。比如上学、婚姻、工作等。第二就是办理户口的程序各地方的程序也有所差异，希望能到落户地户口登记机关了解清楚。
详解户口迁移手续：
户口迁移分两类： 1 类：户口从本县内 ( 县级市 ) 的镇、村迁移过来
2 类：户口从外地市，或者外省迁移进来的
(1 类 ) 办理市内户口迁入工作程序
1 、拿结婚证、双方户口本在迁入地村里开接收证明，盖村里的公章 ;
2 、拿结婚证、迁入地村证明、身份证、双方户口本到迁入村镇办理迁出证明，
3 、拿迁出证明、接收证明、身份证、结婚证、双方户口本到迁入地的户籍管理中心办理迁入手续。
5 、办完户口迁入以后，同时要照身份证照办理新的身份证。
(2 类 ) 办理外地市、外省户口迁入工作程序
1 、拿结婚证、双方户口本在迁入地村里开接收证明，盖村里的公章 ;
2 、拿结婚证、迁入地村证明、身份证、双方户口本到迁入地户籍管理中心办理准签证，准迁证共两张，一张准签证 ( 这张是要到迁出地用的 ) ，一张迁入证 ( 这张保留等迁出证办出来后用 );
3 、拿准签证、迁入证、身份证、结婚证、双方户口本到迁出地的户籍管理中心 ( 镇级的公安局就可以 ) ，同时开具迁出地的村里的同意迁出证明，一并拿到迁出地户籍管理中心办理迁出证 ;
4 、携带迁出证明、户口本等一系列证件到迁入地的户籍管理中心办理迁入手续。
5 、办完户口迁入以后，同时要照身份证照办理新的身份证。
第二篇：户口迁出证明
证 明
兹有本社区居民，男，出生于年月日，户籍地址：号，现为生活和工作方便，申请户口迁往同意迁出。
特此证明
社区居委会
2014-07-22
第三篇：户口迁出证明格式
户口迁出证明格式户口迁出证明格式
一处理户口迁移的原则
从农村迁往市、镇 ( 含矿区、林区等，下同 ) ，由农业人口转为非农业人口，从其它市迁往北京、上海、天津三市的，要严加控制。从镇迁往市，从小市迁往大市，从一般农村迁往市郊、镇郊农村或国营农尝疏菜队、经济作物区的，应适当控制。从市、镇迁往农村，从市迁往镇，从大市迁往小市的，以及同等市之间、镇之间、农村之间的迁移，理由正当的，应准予落户。农村人口之间的通婚，对有女无儿的户，应准许男到女家落户。
( 一 ) 与市、镇职工、居民结婚的农村人口 ( 包括上山下乡知识青年 ) ，应在农村参加集体生产劳动，不得迁入市、镇，其子女也应在农村落户。对确因长期病残生活难以自理，农村又无亲属依靠的，可准在市、镇落户。
( 二 ) 市、镇职工在农村的父、母，不得迁入市、镇。如确无亲属依靠，生活难以自理，必须到市、镇投靠子女的，可准予落户。市、镇职工寄养在农村的十五周岁以下的子女，或原在农村无亲属照顾的十五周岁以下的子女，可准予在市、镇落户。
( 三 ) 符合国家规定调动的职工及随迁家属 ( 随职工共同生活的市、镇吃商品粮人口 ) ，和按照国家规定招收、分配的职工、学生，准予落户。从农村招收的临时工、合同工、轮换工和亦工亦农人员，其户口不得迁入市、镇。县及县以下集体所有制职工是农村户口的，不得转为吃商品粮人口。社队工业劳动者，不得转为吃商品粮人口。
( 四 ) 按照国家规定批准退休的职工，需要回市、镇家中的，准予落户。
( 五 ) 批准退学、休学人员，符合国家规定返回市、镇家中的，准予落户。
( 六 ) 上山下乡知识青年，因病残或家庭有特殊困难，符合国家规定，需要返回市、镇家中的，经市、县知识青年上山下乡办公室审查同意，准予落户。
( 七 ) 调在青藏高原地区工作的职工，他们的家属因气候不适应或无法随身扶养，需迁回市、镇，农村家中，或将未成年子女寄养在亲属处的，准予落户。从事地质勘探等野外流动性较大工作的女职工，生了小孩，无法随身扶养，要求送回市、镇或农村家中扶养的，准予落户。
( 八 ) 复员、退伍军人，按照国务院、中央军委的有关规定，符合从哪里来回哪里去的原则，经市、县复退军人安置办公室安置在市、镇的，准予落户。
( 九 ) 军队干部的家属的户口迁移，按照中央军委和总政治部的有关规定办理。
( 十 ) 对自由流动的人口应予劝阻，动员还乡。已从人口稠密地区流入边远人口稀少地区农村定居，并在生产队参加劳动的自流人口，应准予落户。落户前要同流出地联系，查明有关情况。落户后要通知流出地注销户口。
( 十一 ) 刑满释放、解除劳教和清理出来的就业人员，家在市、镇符合释放、清理条件的，经有关劳 - 改单位事先同迁入地公安机关联系后，凭盛地公安机关劳 - 改部门发给的证件，准予落户。家在北京、上海、天津三市的，放回时要从严控制。
二审批权限和手续
( 一 ) 凡要求从农村迁往市、镇，由农业人口转为非农业人口，从镇迁往市，从小市迁往大市的，以及从一般农村迁往国营农场和疏菜队的，都必须向迁入地派出所 ( 或公社 ) 申请，经派出所 ( 或公社 ) 查实有关情况，一律报迁入地的市、县公安局审批。市，县公安局应和粮食、劳动、人事、民政、知青办等有关部门密切联系，共同做好控制市、镇人口的工作。对有些疑难户口，在审批前，应主动征求粮食等有关部门的意见。
( 二 ) 从农村迁往市、镇，从镇迁往市，从小市迁往大市，必须严格执行《户口登记条例》规定的申报制度：新招职工凭市、县劳动部门的录用证明 ; 干部、工人调动凭组织、人事、劳动部门的调动证明 ; 大、专院校学生凭教育部门的录取证明 ; 复员、退伍、转业军人，凭复退、转业军人安置办公室的证明 ; 其他人员凭公安机关的准予迁入证明申报户口。
对于私自离职的职工、离校的学生和私自离开农村的人，迁出地不得给予办理户口迁出手续，迁入地不得给予入户。
( 三 ) 对已经调动工作的干部、职工及随迁的家属，以及调动或复员、转业的军队干部的随军家属，他们的户口都应迁至调往地区落户。户口没有迁走的，应由上级主管部门或本单位负责动员迁出，公安机关负责督促检查。对参军、出国 ( 境 ) 、死亡和逮捕的人，要按照规定及时注销户口。
( 四 ) 正在监督改造的地、富、反、坏分子在迁移户口时，必须经迁出地的县、市 ( 市辖区 ) 公安局批准，并征得迁入地公安机关的同意。
户口迁移，关系到社会主义建设和人民群众的切身利益，涉及面广，政策性强。这项工作必须在各级党委的统一领导下，有关部门密切配合，共同做好。各级公安机关要加强向党委请示汇报 ; 向群众深入宣传《中华人民共和国户口登记条例》和本规定的精神，充分说明严格控制市、镇人口的意义，提高群众遵守户口迁移规定的自觉性。各级领导要带头遵守并切实贯彻执行户口迁移规定。要认真负责地处理好每一件户口迁移。对于不准在市、镇落户，应该返回农村的人，各有关单位要耐心细致地讲清道理，做好动员回乡工作。农村社队应欢迎他们回乡落户，并做好对他们的安置工作。公安干警和户口管理人员要模范地执行党的户口迁移政策。对于坚持原则，按照党的政策办事的人，要给予支持和表扬 ;( 来源说明好范 文网： Www.91exam.org) 对于破坏户口迁移政策的，要严肃处理。对于弄虚作假，非法落户的，要注销户口，迁回原地。
过去制定的有关户口迁移的规定，凡与本规定有抵触的，以本规定为准。各地不得另立法规。
第四篇：户口迁出证明怎么写
户口迁出证明怎么写户口迁出证明怎么写
( 一 ) 办理本市城区户口迁出，应持下列证明证件到其户口所在地派出所办理：
1 、迁出人的居民户口簿及居民身份证，非投亲的需持住房证明 ;
2 、由学生集体户口转入居民户口的，需持相关证明证件办理 ;
3 、城区农业户口迁出的需持迁入地街、乡、镇人民政府出具的接收证明 ;
4 、城区与郊区及郊区之间的户口迁出需持迁入地公安机关的《准予迁入证明》。
( 二 ) 办理迁往外省市户口，应持下列证明证件到其户口所在地派出所办理：
1 、迁出人的居民户口簿及居民身份证 ;
2 、外省市迁入地公安机关出具的《准予迁入证明》 ;
3 、因国家计划内的招生、毕业分配等原因迁出户口的，应提供《录取通知书》、《报到证》等相应的证明 ;
4 、因入伍、出国、逮捕劳教、失踪等原因需注销户口的，应出示相应证件。
出登记 ( 非行政许可事项 )
行为对象因各种原因申请迁出户口的公民
行为依据《中华人民共和国户口登记条例》、《湖南省常住人口登记操作办法》
收费情况户口迁移证： 5 元 / 证 ; 户口簿： 8 元 / 册 ( 含一个外壳、 5 页内芯及人像扫描费 ); 集体户口簿： 20 元 / 册 ( 含一个外壳、 10 页内芯 ); 每增加或变更打印户口簿内芯每页 2 元。
收费依据省物价局、省财政厅《关于重新发布全省公安系统行政事业性收费项目和标准的通知》 ( 湘价费 63 号 )
办理期限手续齐全的当场办结
办理条件因夫妻投靠、父母投靠成年子女、未成年人投靠父母、收养、干部或职工调动 ( 录用 ) 、家属随军、投资兴业、购房、人才引进、大中专学生录娶毕业 ( 肄业、转学 ) 等原因迁移，可以申请迁出户口 ; 因参军服兵役、出国或赴港 ( 澳、台 ) 定居、失踪等原因迁移，可以申请注销户口。
需提供的
全部材料 1 、夫妻投靠、父母投靠成年子女、未成年人投靠父母、收养、干部或职工调动 ( 录用 ) 、家属随军、投资兴业、购房、人才引进等人员户口迁出：迁出人员的居民户口簿、居民身份证、迁入地公安机关签发的《准予迁入证明》。
2 、大、中专院校 ( 含技工学校 ) 录娶毕业、肄业、转学学生户口迁出：录取的学生凭录取通知书 ; 毕业的学生凭毕业证、就业报到证 ( 或劳动部门出具的就业证、用人单位签订的就业协议 ); 肄业的学生凭肄业证明材料 ; 转学的学生凭转学证明材料，以及迁出人员的居民户口簿、居民身份证。
3 、公民参军服兵役：居民户口簿、居民身份证和《入伍通知书》。
4 、公民出国或赴港、澳、台定居：居民户口簿、居民身份证。公民出国或赴台定居的，还需提供公民所获取的定居地定居证明 ; 去港、澳定居的，还需提供省公安厅出入境管理部门签发的《前往港、澳通行证》。
5 、失踪人员户口注销：失踪人员的居民户口簿、户主或家属的申请和人民法院失踪宣告判决书。
办理程序 1 、提出申请：由申请人向迁出地户口登记机关提出迁出申请。
2 、受理申请：受理申请人所提交的申请材料，并进行审核。
3 、打印表簿：打印户口迁移证，加盖户口专用章和承办人印章 ( 属注销的无需打印 ) 。在迁出 ( 注销 ) 人员常住户口登记表 “ 何时何因迁往何地 ” 栏内注明迁出 ( 注销 ) 户口的时间、原因，收缴迁出 ( 注销 ) 人员居民户口簿内页。
第五篇：户口迁出
集体户口迁出办理程序
a 省内户口迁出
1 、本人持有效证件到我中心借出户籍卡
2 、凭户籍卡到接收地派出所办理落户
3 、把落好的新户籍卡传真一份到我中心登记，传真号码： 0731-85063720.
b 省外户口迁出
1 、凭有效证件到我中心借出个人户籍卡
2 、凭户籍卡到洞井派出所办理户籍证明
3 、凭户籍证明到迁入地公安局办理准迁证
4 、凭准迁证、户籍卡到我中心登记迁出
5 、凭准迁证、户籍卡到派出所办理迁出
6 、到迁入地办理落户即可
户口迁出，如接收地要求办理计生证明，请办理计生迁出，具体流程参照《计生办理流
程》
备注：办理户口迁出手续原则上必须本人亲自办理。如本人有特殊原因不能亲自前来办
理，需要委托他人代办的，应附当事人身份证复印件并在身份证复印件上书写委托书（委
托书须写明不能前来办理的原因和被委托人姓名、身份证号码以及具体委托事项），被
委托人应持身份证原件（原件审核后即时退还）前来办理。
档案转出办理程序
一、提前一个星期网上预约调档
二、办理档案调出请出具以下材料：
1 、与我中心签订的《人事代理合同书》；
2 、符合国家人社部规定的接收单位的商调函；
3 、档案管理费缴费凭证；
4 、代理单位出具的单位解约证明或同意调出证明（限单位代理人员）。
三、户口、计生关系、党员关系、社会保险关系在我中心的人员，须先将以上关系转移后 , 再转出档案。
四、工作人员审核后办理档案转移手续。
五、调入单位出具正式调令后人事代理部办理人事关系转移手续。
六、档案应通过机要传递。
七、如果调档函是通过信件方式邮寄来的，请在调档函后附上本人身份证复印件，并在身份证复印件上本人亲笔写上 “ 申请书 ?? 本人因特殊原因不能亲自前来办理，需委托人才中心代办一切调档事宜，一切后果本人承担相应责任。本人签名）信件寄出三至五个工作日后，请本人联系我中心调档部门。
备注：档案调出原则上必须当事人亲自办理。如当事人有特殊原因不能亲自前来办理，需要委托他人代办的，委托他人代办时须附当事人身份证复印件并在身份证复印件上书写委托书（委托书须写明不能亲自办
理的原因和被委托人姓名、身份证号码以及具体委托事项），被委托人应持身份证原件（原件审核后即时退还）前来办理
服务热线： 0731-850637218506303085063031
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抗击疫情
