在余数问题中有这样一类考题，其题目形式是这样的，X&pide;A余数为a,X&pide;B的余数为b,X&pide;C的余数为c……求符合条件的X的取值。

对于这类问题一般又可以分为四类，以及相应的解法如下：

第一：X&pide;5的余数为2，X&pide;7的余数为2，求符合X的取值。

因为X除以5和7的余数同为2，因此X-2一定既能被5整除，又能被7整除，因此，X-2=35n(n为整数)，则X=35n+2，所以满足条件的最小的数为37(n=1)。

总结：余同加余，即余数相同的则用除数的最小公倍数加余数。

例题1：三位自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数N有几个?

A.8 B.9 C.15 D.16

【解析】因为余数相同，根据余同加余，所以，P=60n+3,可以取2、3、4、5、6..........15、16，共15个数，选C。

第二：X&pide;5的余数为3，X&pide;7的余数为5，求符合X的取值。

由于5减去3为2,7减去5也为2，除数与余数的差相同，因此，X+2一定既能被5整除，又能被7整除，因此，X+2=35n(n为整数)，则X=35n-2，所以满足条件的最小的数为33(n=1)。

总结：差同减差，即除数和余数的差相同时，则用除数的最小公倍数减除数与余数的差。

例题2：三位运动员跨台阶，台阶总数在100-150之间，第一位运动员每次跨3个台阶，最后一步还剩2台阶。第二位运动员每次跨4个台阶，最后一步还剩3个台阶。第三为运动员每次跨5个台阶，最后一步还剩4个台阶。问：这些台阶总共有多少级?

A.119 B.121 C.129 D.131

【解析】每次跨3个台阶，最后还剩2个台阶，即为除以3余数为2，后面依次为除以4余数为3，除以5余数为4，因为除数减去余数的差均相同，所以X=60n-1，当n=2时，X=119，选A。

第三：X&pide;5的余数为3，X&pide;7的余数为1，求符合X的取值。

由于5加上3为8，7加上1也为8，除数与余数的和相同，因此，能满足此条件的X的最小值为8。因此，X=35n+8，所以满足条件的最小的数为8(n=0)。

总结：合同加和，即除数和余数的和相同时，则用除数的最小公倍数加上除数与余数的和。

例题3：某歌舞团在大厅列队排练，若排成7排则多2人，排成5排则多4人，排成6排则多3人，问该歌舞团共有多少人?

A.102 B.108 C.115 D.219

【解析】该题意为除以7余数为2，除以5余数为4，除以6余数为3，除数和余数的和都为9，所以X=9+210n，很明显选D。

例题4：三位的自然数P满足：除以3余数为2，除以7余数为3，除以11余数为4，则符合条件的自然数为( )

A.289 B.290 C.291 D.292

【解析】对于第四类问题，我们可以采用逐步满足法，也可以用代入排除法，根据整除的思想，验证选项，选B。