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绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，
，则
2．若a为实数，且
，则a =
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．已知等比数列
满足a1 = 3，a1 + a3 + a5 = 21，则a3 + a5 + a7 =
5．设函数
，则
6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
7．过三点
，
，
的圆交y轴于M，N两点，则
|
A． |
B．8 |
C． |
D．10 |
8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a =
9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB = 90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O—ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
|
A．36π |
B．64π |
|
C．144π |
D．256π |
10．如图，长方形ABCD的边AB = 2，BC = 1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠AOB = x。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数
，则
的图象大致为
11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ΔABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
12．设函数
是奇函数
的导函数，
，当x > 0时，
，则使得函数
成立的x的取值范围是
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．设向量a，b不平行，向量
与
平行，则实数λ = __________。
14．若x，y满足约束条件
，则
的最大值为__________。
15．
的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a = __________。
16．设Sn是数列的前n项和，且a1 = -1，an+1 = SnSn+1，则Sn = __________。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，ΔABD面积是ΔADC面积的2倍。
（1）求
；
（2）若AD = 1，
，求BD和AC的长。
18．（本小题满分12分）
某公司了解用户对其产品满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
|
A地区： |
62 |
73 |
81 |
92 |
95 |
85 |
74 |
64 |
53 |
76 |
|
|
78 |
86 |
95 |
66 |
97 |
78 |
88 |
82 |
76 |
89 |
|
B地区： |
73 |
83 |
62 |
51 |
91 |
46 |
53 |
73 |
64 |
82 |
|
|
93 |
48 |
65 |
81 |
74 |
56 |
54 |
76 |
65 |
79 |
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
|
满意度评分 |
低于70分 |
70分到89分 |
不低于90分 |
|
满意度等级 |
不满意 |
满意 |
非常满意 |
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件的概率，求C的概率。
19．（本小题满分12分）
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：
，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点
，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
21．（本小题满分12分）
设函数
。
（1）证明：在
单调递减，在
单调递增；
（2）若对于任意
，都有
，求m的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号
22．（本小题满分10分）
选修4 - 1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且
，求四边形EBCF的面积。
23．（本小题满分10分）
选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1：
（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
，C3：
。
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求
的最大值。
24．（本小题满分10分）
选修4 - 5：不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：
（1）若ab > cd；则
；
（2）是
的充要条件。
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