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2015年普通高等学校招生全国考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A=｛x|□5＜x＜2｝，B=｛x|□3＜x＜3｝，则A□B=

A. 3＜x＜2    B. 5＜x＜2     C. 3＜x＜3    D. 5＜x＜3

（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是

       （A）（x□1）²+（y□1）²=1     （B）（x+1）²+（y+1）²=1

       （C）（x+1）²+（y+1）²=2       （D）（x□1）²+（y□1）²=2

（3）下列函数中为偶函数的是（）

    （A）y=x²sinx     （B）y=x²cosx    （C）Y=|ln x|      （D）y=2^x

（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）

    （A）90   （B）100    （C）180   （D）300

5、         执行如果所示的程序框图，输出的k值为

（A）3   （B）4  (C)5    (D)6

（6）设a，b是非零向量，“a·b=IaIIbI”是“a//b”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为

(A)1    （B）   （B）     (D)2

（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为

（A）6升

（B）8升

（C）10升

（D）12升

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）复数i（1+i）的实数为

（10）2^-3,3,log₂5三个数中最大数的是

（11）在△ABC中，a=3,b=,A=，B=

（12）已知（2，0）是双曲线=1(b>0)的一个焦点，则b=.

（13）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为

（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是

②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是

三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）

已知函数f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值。

（16）（本小题13分）

已知等差数列{}满足+=10，-=2.

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{}满足，；问：与数列{}的第几项相等？

（17）（本小题13分）

某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。

（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率

（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率

（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？

（18）（本小题14分）

如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB ⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥ BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,EA的中点。

第一节求证:EB//平面MOC.

第二节求证：平面MOC⊥平面 EAB

求三棱锥E-ABC的体积.

（19）（本小题13分）

设函数f（x）= ,k>0

（I）求f（x）的单调区间和极值；

（II）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间（1，）上仅有一个零点。

(20)(本小题14分)

已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线.

（1）求椭圆的离心率；

（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。