参考答案

　　一、选择题（每小题4分，共56分）

　　1．A  2．D  3．C  4．B  5．D  6．D  7．A  8．B  9．C  10．B  11．C  12．A  13．A  14．B

　　二、填空题（每小题4分，共16分）

　　15．x≥－3  16．6  17．30  18．9（n－1）＋n＝10n－9（或9（n－1）＋n＝10（n－1）＋1）

　　三、（共14分）

　　19．解：

　　        …………………………………………………………………2分

　　        ………………………………………………………4分

　　20．解：

　　        ………………………………………………………… …3分

　　        = ．…………………………………………………………………………4分

　　21．解：设 ，…………………………………………………………………1分

　　   则原方程化为 ．………………………………………………………2分

　　   ∴  ．

　　   解得 ， ……………………………………………………………3分

　　   当y＝－2时， ．

　　   ∴  ．

　　   解得 ， ．…………………………………………………………………4分

　　   当y＝－3时， ．

　　   ∴ 

　　   ∵  △＝9－12＜0，

　　   ∴  此方程无实数根．………………………………………………………………5分

　　   经检验， ， 都是原方程的根．…………………………………………6分

　　   ∴  原方程的根为 ， ．

　　四、（本题满分5分）

　　22．答案一：（1）BF……………………………………………………………………1分

　　（2）BF，DE……………………………………………………………………………2分

　　（3）证法一：∵  四边形ABCD为平行四边形，

　　∴  AD＝BC，AD∥BC．

　　∴  ∠DAE＝∠BCF．……………………………………………………………………3分 

　　在△BCF和△DAE中，

　　 ∴  △BCF≌△DAE．……………………………………………4分

　　∴  BF＝DE．……………………………………………………………………………5分

　　证法二：连结DB、DF，设DB、AC交于点O．

　　∵  四边形ABCD为平行四边形，

　　∴  AO＝OC，DO＝OB．

　　∵  AE＝FC，∴  AO－AE＝OC－FC．

　　∴  EO＝OF．……………………………………………………………………………3分

　　∴  四边形EBFD为平行四边形．………………………………………………………4分

　　∴  BF＝DE．……………………………………………………………………………5分

　　答案二：（1）DF…………………………………………………………………………1分

　　（2）DF，BE……………………………………………………………………………2分

　　（3）证明：略（参照答案一给分）．

　　五、（本题满分6分）

　　23．解法一：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，…………………………1分

　　则高峰时段四环路的车流量为每小时（x＋2000）辆．………………………………2分

　　根据题意，得3x－（x＋2000）＝2×10000．…………………………………………4分

　　解这个方程，得  x＝11000． …………………………………………………………5分

　　x＋2000＝13000．

　　答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆．

…………………………………………………………………………………………………6分

　　解法二：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，四环路的车流量为每小时y辆．

…………………………………………………………………………………………………1分

根据题意，得

……………………………………………………………………4分

　　解这个方程组，得

　　 ……………………………………………………………………………5分

　　答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆．

…………………………………………………………………………………………………6分

　　六、（本题满分7分）

　　24．解：∵  ， 是方程 ①的两个实数根，

　　∴  ， ．

　　∵  ，∴  ．

　　∴  ．

　　解得  ， ………………………………………………………………3分

　　（ⅰ）当m＝－1时，

　　方程①为 ．∴  ， ．

　　方程 ②为 ．

　　∴  ， ．

　　∵  －5、3不在－3和1之间，

　　∴  m＝－1不合题意，舍去．…………………………………………………………5分

　　（ⅱ）当m＝4时，

　　方程①为 ．∴  ， ．

　　方程②为 ．∴  ， ．

　　∵  2＜3＜5＜6，即 ，

　　∴  方程②的两根都在方程①的两根之间．

　　∵  m＝4．………………………………………………………………………………7分

　　综合（ⅰ）（ⅱ），m＝4．

　　注：利用数形结合解此题正确的，参照上述评分标准给分．

　　七、（本题满分8分）

　　25．解法一：

　　（1）证明：∵   AD平分∠BAC，

　　∴  ∠BAD＝∠DAC．

　　∵  ∠B＝∠CAE，

　　∴  ∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE．

　　∵  ∠ADE＝∠BAD＋∠B，∴  ∠ADE＝∠DAE．

　　∴  EA＝ED．

　　∵  DE是半圆C的直径，∴  ∠DFE＝90°．

　　∴  AF＝DF．……………………………………………………………………………2分

　

　　∵  DE是半圆C的直径，

　　∴  ∠DME＝90°．         

　　∵  FE∶FD＝4∶3，

　　∴  可设FE＝4x，则FD＝3x．

　　由勾股定理，得DE＝5x.

　　∴  AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x．

　　由切割线定理的推论，得AF·AD＝AM·AE．

　　∴  3x（3x＋3x）＝AM·5x．∴  ．

　　∴  ．

　　在Rt△DME中，

　　 ．………………………………………………………5分

　　（3）解：过A点作AN⊥BE于N．

　　由 ，得 ．

　　∴  ．

　　在△CAE和△ABE中，

　　∵  ∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA，

　　∴  △CAE∽△ABE．∴  ．

　　∴  ．

　　∴  ．解得x＝2．

　　∴  ，

　　    ．

　　∴  ．…………………………………………8分

　　解法二：

　　（1）证明：同解法一（1）．

　　（2）解：过A点作AN⊥BE于N．

　　在Rt△DFE中，

　　∵  FE∶FD＝4∶3，∴  可设FE＝4x，则FD＝3x．

　　由勾股定理，得DE＝5x．

　　∴  AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x．

　　∵  ，

　　∴  ．

　　∴  ．∴ 

　　∴  由勾股定理，得 ．

　　∴  ．…………………………………………………5分

　　（3）解：在△CAE和△ABE中，

　　∴  ∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA，

　　∴  △CAE∽△ABE．∴ ．

　　∴  ∴  ．

　　解得x＝2．∴  ，

　　    ．

　　∴  ．…………………………………………8分

　　八、（本题满分8分）

　　26．解法一：

　　（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．

　　∵  抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），

　　∴  由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

………………………………………………………………………… ………………………2分

　　（2）∵  抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0），

　　∴  ．∴  t＝3a．

　　∴  ．

　　∴  D（0，3a）．

　　∴  梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上，

　　∵  C（－4，3a）．

　　∴  AB＝2，CD＝4．

　　∵  梯形ABCD的面积为9，

　　∴  ．

　　∴  ．

　　∴  a±1．

　　∴  所求抛物线的解析式为 或 …………………5分

　　（3）  设点E坐标为（ ， ）

　　依题意， ， ，且 ．∴  ．

　　①设点E在抛物线 上，

　　∴  ．

　　解方程组 得

　　∵  点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，

　　∴  点E坐标为（ ， ）．

　　设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．

　　∵  AE长为定值，

　　∴  要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．

　　∴  点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），

　　∴  由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．

　　设过点E、B的直线的解析式为 ，

　　∴  解得

　　∴  直线BE的解析式为 ．

　　∴  把x＝－2代入上式，得 ．

　　∴  点P坐标为（－2， ）．

　　②设点E在抛物线 上，

　　∴  ．

　　解方程组

　　消去 ，得 ．

　　∴  △＜0

　　∴  此方程无实数根．

　　综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2， ），使△APE的周长最小．…………8分

　　解法二：

　　（1）∵  抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0），

　　∴  ．∴  t＝3a．

　　∴  ．

　　令  y＝0，即 ．

　　解得  ， ．

　　∴  抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．     2分

　　（2）由 ，得D（0，3a）．

　　∵  梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上，

　　∴  C（－4，3a）．∴  AB＝2，CD＝4．

　　∵  梯形ABCD的面积为9，

　　∴  ．

　　解得OD＝3．

　　∴  ．∴  a±1．

　　∴  所求抛物线的解析式为 或 ．…………………5分

　　（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．

　　∴  如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．

　　设对称轴与x轴的交点为F．

　　由PF∥EQ，可得 ．

　　∴  ．∴  ．

　　∴  点P坐标为（－2， ）．

　　以下同解法一．