2014硕士研究生入学考试数学一真题及答案

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．下列曲线有渐近线的是（  ）

（A）   （B）   （C）   （D）

2．设函数具有二阶导数，，则在上（  ）

（A）当时，      （B）当时，

（C）当时，     （D）当时，

3．设是连续函数，则（  ）

（A）  

（B）　　　　

（C）　　　　

（D）

4．若函数，则（  ）

（A）   （B）   （C）   （D）　

5．行列式等于（  ）

（A）   （B）   （C）   （D）

6．设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（  ）

（A）必要而非充分条件   （B）充分而非必要条件   （C）充分必要条件   （D）非充分非必要条件

7．设事件A，B想到独立，则（  ）

（A）0.1    （B）0.2    （C）0.3     （D）0.4

8．设连续型随机变量相互独立，且方差均存在，的概率密度分别为，随机变量的概率密度为，随机变量，则（  ）

（A）     （B）  

（C）    （D）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．曲面在点处的切平面方程为        ．

10．设为周期为4的可导奇函数，且，则                ．

11．微分方程满足的解为             ．

12．设是柱面和平面的交线，从轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分              ．

13．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是              ．

14．设总体X的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本，若是的无偏估计，则常数=            ．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限．

16．（本题满分10分）

设函数由方程确定，求的极值．

17．（本题满分10分）

设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．

18．（本题满分10分）

设曲面的上侧，计算曲面积分：

（1）       证明；

（2）       证明级数收敛．

19．（本题满分10分）

设数列满足，且级数收敛．

20．（本题满分11分）

设，E为三阶单位矩阵．

（3）       求方程组的一个基础解系；

（4）       求满足的所有矩阵．

21．（本题满分11分）

证明阶矩阵与相似．

22．（本题满分11分）

设随机变量X的分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布．

（5）       求的分布函数；

（6）       求期望

23．（本题满分11分）

设总体X的分布函数为，其中为未知的大于零的参数，是来自总体的简单随机样本，

（1）求；（2）求的极大似然估计量．

（3）是否存在常数，使得对任意的，都有．

                              2013年考研数学一解析 

１．【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线

应该选（C）

2．【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点及常数，恒有，则曲线是凸的．显然此题中，则，，

故当时，曲线是凸的，即，也就是，应该选（C）

【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凸的，从而，即，也就是，应该选（C）

3．【详解】积分区域如图所示。如果换成直角坐标则应该是：

，（A），（B）两个选择项都不正确；

如果换成极坐标则为：

．应选（D）

4．【详解】注意，，，

，所以

所以就相当于求函数的极小值点，显然可知当时取得最小值，所以应该选（A）．

5．【详解】

应该选（B）．

6．【详解】若向量线性无关，则（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）．

7．【详解】．

所以，．故选择（B）．

8．【详解】，

         ，

故应该选择（D）．

9．【详解】曲面在点处的法向量为，所以切平面方程为，即．

10．【详解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．

11．【详解】方程的标准形式为，这是一个齐次型方程，设，得到通解为，将初始条件代入可得特解为．

12．【详解】由斯托克斯公式可知

．其中取上侧，．

13．【详解】由配方法可知

由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．

14．【详解】，所以，由于是的无偏估计，故，．

15．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

【详解】

16．【详解】

解：在方程两边同时对求导一次，得到，　　　　　　　　（１）

即，令及，得到函数唯一驻点．

在（１）式两边同时对求导一次，得到

把代入，得到，所以函数在处取得极小值．

17．【详解】

设，则，

;

 ，由条件，可知

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：其中 为任意常数． 对应非齐次方程特解可求得为．故非齐次方程通解为 ．将初始条件代入，可得．所以的表达式为．

18．【详解】

设取下侧，记由所围立体为，则高斯公式可得

在取下侧上，，

所以=

19．【详解】

（1）证明：由，及可得，

所以，由于级数收敛，所以级数也收敛，由收敛的必要条件可得．

（2）证明：由于，所以

由于级数收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数收敛．

20．【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

，

得到方程组同解方程组，得到的一个基础解系．

显然B矩阵是一个矩阵，设

对矩阵进行进行初等行变换如下：

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为，，，

即满足的所有矩阵为，其中为任意常数．

21．【详解】证明：设 ，．

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

     ， 所以A的个特征值为；

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；

所以B的个特征值也为；对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且，从而可知阶矩阵与相似．

22．【详解】（1）分布函数

当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

所以分布函数为

（2）概率密度函数为，  ．

23．【详解】（1）先求出总体X的概率密度函数，

；

（2）极大似然函数为：

当所有的观测值都大于零时，，令，

得的极大似然估计量为；

（3）因为独立同分布，显然对应的也独立同分布，又有（１）个可知，由辛钦大数定律，可得，由前两问可知，，，所以存在常数，使得对任意的，都有．