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1989年考研数学(一)真题附答案详解
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 已知,则 _______.
(2) 设是连续函数,且,则_______.
(3) 设平面曲线为下半圆周则曲线积分_______.
(4) 向量场在点处的散度_______.
(5) 设矩阵, ,则逆矩阵=_______.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 当时,曲线 ( )
(A) 有且仅有水平渐近线
(B) 有且仅有铅直渐近线
(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线
(D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线
(2) 已知曲面上点处的切平面平行于平面,则点的坐标是 ( )
(A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2)
(C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)
(3) 设线性无关的函数、、都是二阶非齐次线性方程的解,、是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设函数而其中
…,则等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设是阶矩阵,且的行列式,则中 ( )
(A) 必有一列元素全为0
(B) 必有两列元素对应成比例
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1) 设,其中函数二阶可导,具有连续的二阶偏导数,
求.
(2) 设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且,
计算的值.
(3) 计算三重积分,其中是由曲面与所围成的区域.
四、(本题满分6分.)
将函数展为的幂级数.
五、(本题满分7分.)
设,其中为连续函数,求.
六、(本题满分7分.)
证明方程在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.
七、(本题满分6分.)
问为何值时,线性方程组
有解,并求出解的一般形式.
八、(本题满分8分.)
假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明:
(1) 为的特征值;
(2) 为的伴随矩阵的特征值.
九、(本题满分9分.)
设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大?
十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)
(1) 已知随机事件的概率=0.5,随机事件的概率=0.6及条件概率
=0.8,则和事件的概率=_______.
(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_______.
(3) 若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程有实根的概率是______.
十一、(本题满分6分.)
设随机变量与独立,且服从均值为1、标准差(均方差)为的正态分布,而服从标准正态分布.试求随机变量的概率密度函数.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】原式=.
(2)【答案】
【解析】由定积分的性质可知,和变量没有关系,且是连续函数,故
为一常数,为简化计算和防止混淆,令,则有恒等式,
两边0到1积分得
,
即 ,
解之得 ,因此.
(3)【答案】
【解析】方法一:的方程又可写成,被积分函数在上取值,于是
原积分=(半径为1的的半圆周长).
方法二:写出的参数方程,
,
则 .
(4)【答案】
【解析】直接用散度公式
.
(5)【答案】
【解析】由于
,
为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.
方法一:如果对作初等行变换,则由可以直接得出.
本题中,第一行乘以加到第二行上;再第二行乘以,有
,
从而知 .
方法二:对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律:,则求的伴随矩阵
.
如果,这样
.
再利用分块矩阵求逆的法则:,
本题亦可很容易求出.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(A)
【解析】函数只有间断点.
,其中是有界函数,而当时,为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,
所以 ,故函数没有铅直渐近线.
,
所以为函数的水平渐近线,所以答案为(A).
【相关知识点】铅直渐近线:如函数在其间断点处有,则
是函数的一条铅直渐近线;
水平渐近线:当,则为函数的水平渐近线.
(2)【答案】(C)
【解析】题设为求曲面(其中)上点使在该点处的法向量与平面的法向量平行.
在处的法向量
,
若则为常数,即.即.
又点,所以,故求得.
因此应选(C).
(3)【答案】(D)
【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,为方程对应齐次方程的特解,所以方程的通解为
,
即,故应选D.
(4)【答案】(B)
【解析】是函数先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于是奇函数,于是.
当时,连续,由傅式级数的收敛性定理,.因此,
.应选(B).
(5)【答案】(C)
【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.
因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了
的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.
以3阶矩阵为例,若 ,
条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、
(B)不满足题意,不可选.
若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.
这样用排除法可知应选(C).
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求,也可以先求.
方法一:先求,由复合函数求导法,
,
再对求偏导,得
.
方法二:先求,
,
再对求偏导数,得
.
【相关知识点】复合函数求导法则:若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且
.
(2)【解析】方法一:先求出,再求曲线积分.
设有连续偏导数,在所给的单连通区域上,与路径无关,则在上有,所以即.由=0,得
,即,因此
.
或取特殊路径如图:
.
方法二:不必求出,选取特殊的路径,取积分路径如图,则
.
(3)【解析】利用三重积分的性质,
关于平面对称,对为奇函数,所以,即.
是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为轴、半顶角为的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则,