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1993考研数一真题及答案详解
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) 函数 的单调减少区间为______________.
(2) 由曲线 绕 轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外侧的单位法向量为______________.
(3) 设函数 的傅里叶级数展开式为
,则其中系数 的值为______________.
(4) 设数量场 则 ______________.
(5) 设 阶矩阵 的各行元素之和均为零,且 的秩为 ,则线性方程组 的通解为______________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设 , 则当 时, 是 的 ( )
(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小
(C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小
(2) 双纽线 所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设有直线 与 ,则 与 的夹角为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设曲线积分 与路径无关,其中 具有一阶连续导数,且 ,则 等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 已知 , 为三阶非零矩阵,且满足 ,则
(A) 时, 的秩必为1 (B) 时, 的秩必为2
(C) 时, 的秩必为1 (D) 时, 的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
(1) 求 .
(2) 求 .
(3) 求微分方程 ,满足初始条件 的特解.
四、(本题满分6分)
计算 ,其中 是由曲面 与
所围立体的表面外侧.
五、(本题满分7分)
求级数 的和.
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1) 设在 上函数 有连续导数,且 证明 在 内有且仅有一个零点.
(2) 设 ,证明 .
七、(本题满分8分)
已知二次型 ,通过正交变换化成标准形 ,求参数 及所用的正交变换矩阵.
八、(本题满分6分)
设 是 矩阵, 是 矩阵,其中 , 是 阶单位矩阵,若 ,证明 的列向量组线性无关.
九、(本题满分6分)
设物体 从点 出发,以速度大小为常数 沿 轴正向运动.物体 从点 与 同时出发,其速度大小为 ,方向始终指向 ,试建立物体 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)
(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_______.
(2) 设随机变量 服从 上的均匀分布,则随机变量 在 内的概率分布密度 _______.
十一、(本题满分6分)
设随机变量 的概率分布密度为 , .
(1) 求 的数学期望 和方差 .
(2) 求 与 的协方差,并问 与 是否不相关?
(3) 问 与 是否相互独立?为什么?
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】由连续可导函数的导数与 的关系判别函数的单调性.
将函数 两边对 求导,得 .
若函数 严格单调减少,则 ,即 .
所以函数 单调减少区间为 .
【相关知识点】函数的单调性:设函数 在 上连续,在 内可导.
(1) 如果在 内 ,那么函数 在 上单调增加;
(2) 如果在 内 ,那么函数 在 上单调减少.
(2)【答案】
【解析】先写出旋转面 的方程: .
令 .
则 在点 的法向量为
,
所以在点 处的法向量为
.
因指向外侧,故应取正号,单位法向量为
.
(3)【答案】
【解析】按傅式系数的积分表达式 ,
所以 .
因为 为奇函数,所以 ;
为偶函数,所以


.
(4)【答案】
【解析】先计算 的梯度,再计算该梯度的散度.
因为 ,
所以 .
数量场 分别对 求偏导数,得
,
由对称性知
, ,
将 分别对 求偏导,得
,
, ,
因此, .
(5)【答案】
【解析】因为 ,由 知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故 的通解形式为 .下面根据已知条件“ 的各行元素之和均为零”来分析推导 的一个非零解,它就是 的基础解系.
各行元素的和均为0,即
,
而齐次方程组 为
.
两者比较,可知 是 的解.所以应填 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(B)
【解析】 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,
运用洛必达法则,有

.
因为当 , 所以 ,所以
,
所以 与 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).
【相关知识点】无穷小的比较:
设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 ,
(1) 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小;
(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ;
(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .
若 不存在(不为 ),称 不可比较.
(2)【答案】(A)
【解析】由方程可以看出双纽线关于 轴、 轴对称,(如草图)
只需计算所围图形在第一象限部分的面积;
双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程
较为简单: .
显然,在第一象限部分 的变化范围是
.再由对称性得
,
应选(A).
(3)【答案】(C)
【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题, 与 的方向向量分别是
,
与 的夹角 的余弦为
,
所以 ,应选(C).
(4)【答案】(B)
【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关
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