2000年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)=_____________.

(2)曲面在点的法线方程为_____________.

(3)微分方程的通解为_____________.

(4)已知方程组无解,则= _____________.

(5)设两个相互独立的事件和都不发生的概率为,发生不发生的概率与发生不发生的概率相等,则=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设、是恒大于零的可导函数,且,则当时,有

(A)              (B)    

(C)              (D)

(2)设为在第一卦限中的部分,则有

(A)                 (B)    

(C)                 (D)

(3)设级数收敛,则必收敛的级数为

(A)                    (B) 

(C)               (D) 

(4)设维列向量组线性无关,则维列向量组线性无关的充分必要条件为

(A)向量组可由向量组线性表示 

(B)向量组可由向量组线性表示

(C)向量组与向量组等价

(D)矩阵与矩阵等价

(5)设二维随机变量服从二维正态分布,则随机变量与 不相关的充分必要条件为

(A)                    (B)   

(C)                (D)

三、(本题满分6分)

求

四、(本题满分5分)

设,其中具有二阶连续偏导数具有二阶连续导数,求

五、(本题满分6分)

   计算曲线积分,其中是以点为中心为半径的圆周取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

   设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面都有其中函数在内具有连续的一阶导数,且求.

七、(本题满分6分)

   求幂级数的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.

八、(本题满分7分)

设有一半径为的球体是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比(比例常数),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分)

设函数在上连续,且试证:在内至少存在两个不同的点使

十、(本题满分6分)

   设矩阵的伴随矩阵且,其中为4阶单位矩阵,求矩阵.

十一、(本题满分8分)

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和记成向量

(1)求与的关系式并写成矩阵形式:

(2)验证是的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.

(3)当时,求

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为,求的数学期望和方差.

十三、(本题满分6分)

设某种元件的使用寿命的概率密度为,其中为未知参数.又设是的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.