2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ .

(2)已知,且,则=__________ .

(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.

(4)欧拉方程的通解为__________ .

(5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .

(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)                       (B)

(C)                       (D)

(8)设函数连续,且则存在,使得

(A)在(0,内单调增加                (B)在内单调减少

(C)对任意的有          (D)对任意的有 

(9)设为正项级数,下列结论中正确的是

(A)若=0,则级数收敛

(B)若存在非零常数,使得,则级数发散

(C)若级数收敛,则  

(D)若级数发散, 则存在非零常数,使得

(10)设为连续函数,,则等于

(A)                     (B)

(C)                        (D) 0

(11)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为

(A)                   (B) 

(C)                     (D)

(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有

(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关

(B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 

(C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关

(D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关

(13)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于

(A)                          (B)

(C)                        (D)  

(14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则

(A)                    (B) 

(C)              (D)

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15)(本题满分12分)

设,证明.

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分其中是曲面的上侧.

(18)(本题满分11分)

设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.

(19)(本题满分12分)

设是由确定的函数,求的极值点和极值.

(20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.

(22)(本题满分9分)

设为随机事件,且,令

求:(1)二维随机变量的概率分布.      (2)和的相关系数

(23)(本题满分9分)

设总体的分布函数为

其中未知参数为来自总体的简单随机样本,

求:(1)的矩估计量.  (2)的最大似然估计量.