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【考点】常用分布的数字特征
【详解】本题涉及到的主要知识点：
泊松分布：设随机变量X的分布律为
，则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记为X~π（λ）或者P（λ）。
泊松分布的数字特征：E（X）=λ，D（X）=λ。
公式
在本题中，
(利用
)，所以
即
服从参数为1的泊松分布.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
求微分方程
的通解
【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程
【详解】本题涉及到的主要知识点：
二阶常系数其次线性方程
其中p，q为常数，
特征方程
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）当
，特征方程有两个不同的实数
则方程的通解为 
（2）当
，特征方程有二重根
。
则方程的通解为 
（3）当
，特征方程有共轭复根
，
则方程的通解为 
。
在本题中，
先求方程
的通解
由特征方程
解得特征根
所以方程的通解为
下求的特解：设特解为
，则
，
代入原方程，解得
，故特解为
故方程的通解为
(16) (本题满分10分)
求函数
的单调区间与极值.
【考点】函数单调性的判别
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判断：求
的单调性区间，就是求
的正负号区间。增减或减增区间的分界点就是极值点。
在本题中，
所以
令
，则
；
因为当
时，
，
时，
，
时，，
时，；
所以的单调递减区间为
；的单调递增区间为
所以
是极大值.
为极小值.
(17) (本题满分10分)
(I) 比较
与
的大小，说明理由；
(II) 记
，求极限
.
【考点】定积分的性质，夹逼准则
【详解】本题涉及到的主要知识点：
夹逼定理：设
，若
，则
。
在本题中，
当
时，
，所以与
均为定积分，故
(I)当
时
，
故
，所以
(II)
故由
，
根据夹逼定理得
故
.
(18) (本题满分10分)
求幂级数
的收敛域及和函数.
【考点】幂级数的收敛域及和函数
【详解】本题涉及到的主要知识点：
幂级数
的收敛域的定义及求法，分三种情况：
（1）收敛域为
，亦即对每一个x皆收敛，此时收敛半径R=+∞
（2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数皆发散，称收敛半径R=0.
（3）收敛半径为R，（0<R<+∞）.
如果
（包括+∞）或
（包括+∞），则收敛半径R=
。
若上述两极限不成立，则要用其他方法求收敛半径。
在本题中，
令
时级数收敛.
当
时，
，由莱布尼兹判别法知，此级数收敛，故原级数的收敛域为
.
设 
令 
，
，
，
,.
在
上是连续的，所以
在收敛域上是连续的.
. 
，
.
(19) (本题满分10分)
设
为椭球面
上的动点，若
在点处的切平面为
面垂直，求点的轨迹
，并计算曲面积分
，其中
是椭球面位于曲线上方的部分.
【考点】曲面的切平面和法线，计算第一类曲面积分的方法
【详解】本题涉及到的主要知识点：
这是一道综合题，主要涉及第一类曲面积分的计算方法，以及平面的法线和切平面等一些概念。基本计算公式：
设曲面S的方程z=z(x,y), (x,y)∈D。 z(x,y)在D上有连续偏导数，f(x,y,z)在S上连续，则
这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。
在本题中，
令
故动点
的切平面的法向量为
；
由切平面垂直，故所求曲线的方程为：
由
消去
,立马可得投影柱面
:
,
由
,得
,同理得, 
因而可得 
,
所以, 
.
(20) (本题满分11分)
设
已知线性方程组
存在2个不同的解
(I) 求
,
;
(II) 求方程组的通解.
【考点】非齐次线性方程组的解；非齐次线性方程组的通解
【详解】本题涉及到的主要知识点：
非齐次线性方程组有解的充分必要条件
。
非齐次线性方程组解的结构式齐次线性方程组的通解加上特解。
在本题中，
方法一：（I）已知有2个不同的解
，对增广矩阵进行初等行变换，得
当
时，
此时，
，无解，所以
。
当
，
由于
，所以
。因此，，。
方法二：（I）已知有2个不同的解
又
，即
，知或-1。
当时，，此时，无解，
。代入由
得。 &nbs
考研
