（II）

原方程组等价为，即，。

的通解为 ，为任意常数。                   

 (21) (本题满分11 分)

已知二次型在正交变换下的标准型为，且的第3列为.

(I) 求矩阵；

(II) 证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵

【考点】实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，二次型的标准形的概念，正定矩阵的判别法

【详解】本题涉及到的主要知识点

含有n个变量的二次齐次多项式

称为n元二次型。令，，则二次型可用矩阵乘法表示为

，

其中A是n阶实对称矩阵（），称A为二次型的矩阵，矩阵A的秩r(A)称为二次型的秩。

如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项的系数全是零，则成为标准型。

对二次型，如对任何x不为0，恒有>0,则称二次型为正定二次型。

在本题中，

（1）由于二次型在正交变换下的标准形为，所以的特征值为。

由于的第3列为，所以对应于的特征向量为，记。                                                       

由于是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于的特征向量为，则，即。取

，

则为对应于的特征向量。                                

方法一：由，两边取转置，得。

解此矩阵方程：

所以，。                                           

方法二：

由于是相互正交的，所以只需单位化：

。

取，则，

。                                         

（II）也是实对称矩阵，的特征值为1，1，0，所以的特征值为2，2，1，由于的特征值全大于零，故是正定矩阵。                     

(22) (本题满分11 分)

设二维随机变量的概率密度为

，，，

求常数及条件概率密度

【考点】二维连续型随机变量的条件密度，二维正态分布的概率密度

【详解】本题涉及到的主要知识点

连续型随机变量的条件概率分布：

（1）设(X,Y)~f(x,y)，若对于固定的y，边缘概率密度,则称为在Y=y的条件下的X的条件概率密度，记为。

（2）同样，设，则称为在X=x的条件下的Y的条件概率密度，记为

。

二维正态分布的概念：

如果二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度为

则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布，记为（X,Y）~N().其中均为常数且。

在本题中，

利用概率密度的性质得到

因为，；

同理，，所以

 (利用正态分布的概率密度为1，即)，得到  

即

的边缘概率密度为

条件概率密度

 (23)  (本题满分11分)

设总体的概率分布为

其中未知，以表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数().试求常数，使为的无偏估计量，并求的方差.

【考点】常用抽样分布，估计量的无偏性

【详解】本题涉及到的主要知识点

对于总体X的n次独立重复观测，称为来自总体X的n此简单随机抽样。

随机变量数学期望的性质：

方差的定义及性质：设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差，记为D（X）。若X和Y相互独立，则.

在此题中，

因为是的无偏估计量，所以即得

整理得到                                                     

所以统计量