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2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1、 曲线的拐点是( )
A (1,0) B (2,0) C (3,0) D (4,0)
2、设数列单调减少,且。无界,则幂级数的收敛域为( )
A B C D
3、 设函数具有二阶连续的导数,且.。则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( )
A B
C D
4、设 ,则 的大小关系是( )
A B C D
5、设A为3阶矩阵,把A的第二列加到第一列得到矩阵B ,再交换B的第二行与第3行得到单位阵E,记,,则A=( )
A B C D
6、设是4阶矩阵,为A的伴随矩阵。若是的一个基础解系,则的基础解系可为( )
A B C D
7、设为两个分布函数,且连续函数为相应的概率密度,则必为概率密度的是( )
A B C D +
8、设随机变量相互独立,且都存在,记,则( )
A B C D
二、填空题:9—14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定的位置上。
9、曲线的弧长为_____________
10、微分方程满足条件的解为________________
11、设函数,则
12、设是柱面方程与平面的交线,从轴正向往轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分
13、若二次曲面的方程,经正交变换化为,则
14、设二维随机变量,则
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15、(本题满分10分) 求极限
16、(本题满分9分)
设函数,其中具有二阶连续的偏导数,函数可导且在处取得极值.求
17、(本题满分10分)
求方程的不同实根的个数,其中为参数。
18、(本题满分10分)
①证明:对任意的正整数,都有成立;
②设,证明数列收敛.
19、(本题满分11分)
已知函数具有二阶连续的偏导数,且,其中计算二重积分
20、(本题满分11分)
设向量组,,不能由向量组,,线性表示;
(1) 求的值;
(2) 将用线性表示;
21、(本题满分11分)
A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且
求(1)A的特征值与特征向量 (2) 矩阵A
22、(本题满分11分)
设随机变量X与Y的概率分布分别为
且
求(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(2)的概率分布
(3)X与Y的相关系数
23、(本题满分11分)
设是来自正态总体的简单随机样本,其中已知,未知.为样本均值和样本方差.
求(1)求参数的最大似然估计
(2) 计算E和D
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
答案速查:
一、选择题
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
(6) |
(7) |
(8) |
C |
C |
A |
B |
D |
D |
D |
B |
二、填空题
(9) |
(10) |
(11) |
(12) |
(13) |
(14) |
|
|
4 |
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1 |
|
三、解答题
(15)
(16)
(17)当时,原方程有三个根;当时,原方程有一个根.
(18)略
(19)
(20)(I) ;(II) ,,
(21)(I) 的特征值为-1,1,0,对应的特征向量为,, (II)
(22)(I) 的概率分布为
(II) 的概率分布为
(III)
(23)(Ⅰ) ;(Ⅱ) ,
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 曲线的拐点是 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(C)
【考点】函数图形的拐点
【难易度】★★
【详解】
解析:由可知分别是
的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知,
,,,故(3,0)是一拐点.
(2) 设数列单调减少,,无界,则幂级数的收敛域为 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(C)
【考点】莱布尼茨定理;幂级数的收敛区间和收敛域
【难易度】★★★
【详解】
解析:无界,说明幂级数的收敛半径;
单调减少,,说明级数收敛,可知幂级数的收敛半径.
因此,幂级数的收敛半径,收敛区间为.又由于时幂级数收敛,时幂级数发散.可知收敛域为.
(3) 设函数具有二阶连续导数,且,,则函数在点处取得极小值的一个充分条件是 ( )
(A) , (B) ,
(C) , (D) ,
【答案】(A)
【考点】多元函数的极值
【难易度】★★★
【详解】
解析:由知,
,
所以,,
要使得函数在点(0,0)处取得极小值,仅需
,
所以有
(4) 设,,,则的大小关系是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(B)
【考点】定积分的基本性质
【难易度】★★
【详解】
解析:如图所示,因为时,
,
因此
,故选(B)
(5) 设A为3阶矩阵,将A的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3行得单位矩阵,记,则A= ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
【考点】矩阵的初等变换
【难易度】★★
【详解】
解析:由初等矩阵与初等变换的关系知,,
所以,故选(D)
(6) 设是4阶矩阵,为的伴随矩阵,若是方程组Ax=0的一个基础解系,则的基础解系可为 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
【考点】★★★
【难易度】矩阵的秩;齐次线性方程组的基础解系
【详解】
解析:由的基础解系只有一个知,所以,又由知,都是的解,且的极大线生无关组就是其基础解系,又
,所以线性相关,故或为极大无关组,故应选(D).
(7) 设,为两个分布函数,其相应的概率密度,是连续函数,