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B) 
(C) 
(D) 
【答案】A
【考点】常见随机变量的分布
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
若随机变量
的概率密度为
则称服从参数为
的指数分布.
在本题中，依题设知，
的概率密度分别为
又与相互独立，从而与的联合概率密度为
于是
故选A.
(8)将长度为
的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
【答案】D
【考点】相关系数的性质
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
若
，则当
时，
；当
时，
.
在本题中，设其中一段木棒长度为，另一段木棒长度为，显然
，即
，与之间有明显的线性关系，从而.故选D.
二、填空题：9
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)若函数
满足方程
及
，则
【答案】
【考点】二阶常系数齐次线性微分方程
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
二阶常系数齐次线性微分方程
的特征方程
有两个不同的实根，微分方程的通解形式为
.
在本题中，因
满足
①
②
由①、②，得
，
两边乘以
得
积分得
，即
代入②式得
，于是
代入①式自然成立.因此求得.
(10)
【答案】
【考点】定积分的换元积分法
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
第一类换元法 
在本题中，
，
其中
是半单位圆的面积.
(11)
【答案】
【考点】梯度
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
在本题中，记
，则
，
，
因此
(12)设
，则
【答案】
【考点】曲面积分的计算
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
曲面积分公式：
在本题中，投影到
平面上.
在平面上的投影区域为
由的方程
，
现将曲面积分化为二重积分，然后求出积分值.
(13)设
为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵
的秩为
【答案】2
【考点】矩阵的特征值的性质；实对称矩阵的相似对角矩阵
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）若
，则
；
（ii）实对称矩阵必可对角化.
在本题中，设
，则有
，又
，
易见秩.那么
，
所以矩阵
的特征值为1，0，0，从而
的特征值为0，1，1.
又因为对称矩阵，从而
，故
.
(14)设
,
,
是随机事件，A与C互不相容，
【答案】
【考点】条件概率
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
条件概率公式
在本题中，由于与
互不相容，所以
，
，从而
.于是
.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)证明：
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法 设函数
在
上连续，在
内可导.
①如果在内
，那么函数在上单调增加；
②如果在内
，那么函数在上单调减少.
证明：令
，
则转化为证明
（
）
因
，即
为偶函数，故只需考察
的情形.
用单调性方法.
，
，
，
其中
，
，
因
时
，又
在
连续
在
，
（
），同理
在，
在，
.又因为偶函数
，
.即原不等式成立.
(16)求函数
的极值.
【考点】多元函数的极值
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
二元函数取得极值的充分条件：设
在点
的某邻域有连续的二阶偏导数，又
，
，令
，
，
，则
（1）当
时，
在取极值，且当
时取极小值，
时取极大值；
（2）当
时，不是的极值点；
（3）当
时，仅此不足以判断是否是的极值点，还需另作讨论.
在本题中，先求函数的驻点.
解得驻点为
，
又
根据判断极值的第二充分条件，
代入（1，0），得
，
，
，从而，，所以在（1，0）取得极大值，极大值为
；
代入（-1，0），得
，，
，从而，，所以在（-1，0）取得极小值，极小值为
.
(17)求幂级数
的收敛域及和函数.
【考点】幂级数的收敛域、和函数
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）求幂级数
收敛域的步骤：
（1）求收敛半径：设
，则
（2）讨论端点的敛散性：如果
，则需进一步讨论在
处的敛散性；
（3）写出幂级数的收敛域.
（ii）和函数的性质：
（1）和函数
在
内可导，并且有逐项求导公式：
；
（2）在幂级数的收敛域上逐项积分公式成立，即
.
本题中，直接用求收敛半径的公式，先求
于是收敛半径
当
时，原级数=
，第n项的极限即
，所以当时，原级数发散；同理可证，
时，原级数也是发散的.
因此，原级数的收敛域为
.
和函数
令
，
，
因为
，
所以
.
因为
，所以
所以
当
时，
；
当
时，
，
.
所以
(18)已知曲线
其中函数
具有连续导数，且
，
.若曲线
的切线与
轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求以曲线及轴和
轴无边界的区域的面积.
【考点】导数的几何意义、定积分的应用
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）曲线在点
处的切线方程为
.
（ii）由曲线
及直线
，
与
轴所围成的曲边梯形的面积是定积分
.
（Ⅰ）求
.
当
时，曲线
在切点
处的切线斜率为
，
切线方程为
令
得切线与轴的交点
的坐标为
于是点坐标为
，切点的坐标为
依题设，与的距离为
，
化简得
，
积分得
（Ⅱ）求无界区域的面积
曲线
可表为
，当
时
当
时
，于是
(19)已知是第一象限中从点
沿圆周
到点
，再沿圆周
到点
的曲线段，计算曲线积分
【考点】格林公式
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
格林公式：
在本题中，记
1）
；
2）曲线不封闭，添加辅助线
沿
轴由点
到点
.
；
3）在
与围成的区域
上用格林公式（边界取正向，即逆时针方向）：
，
因此
(20)设
（I）计算行列式
；
（II）当实数
为何值时，方程组
有无穷多解，并求其通解.
【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
，
或
.
（ii）设是
矩阵，方程组
，则方程组有无穷多解
（I）按第一列展开，即得
（II）因为
时，方程组
有可能有无穷多解.由（I）知
或
当时，
，
由于
，
，故方程组无解.因此，当时不合题意，应舍去.
当时，
，
由于
，故方程组有无穷多解.选
为自由变量，得方程组通解为：
（
为任意常数）.
(21)
已知
，二次型
的秩为2
（I）求实数的值；
（II）求正交变换
将
化为标准形.
【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交.
（ii）任给二次型
，总有正交变换
，使
化为标准形
，其中
是的矩阵
的特征值.
（I）二次型
的秩为2，即
因为
，故
.对作初等变换有
，
所以.
（II）当时，
.由
，
可知矩阵
的特征值为0，2，6.
对
，由
得基础解系
，
对
，由
得基础解系
，
对
，由
得基础解系
.
实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.
，
，
.
那么令
，就有
.
（22）
设二维离散型随机变量
的概率分布为
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求
.
【考点】随机变量的数学期望、方差；协方差及其性质
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）
；
（ii）
,
,
.
（Ⅰ）由随机变量的概率分布可知，
（Ⅱ）由条件知
，
，
，
从而
，
，
，
又
，于是
.
(23)
设随机变量
与
相互独立且分别服从正态分布
与
，其中
是未知参数且
.设
（Ⅰ）求
的概率密度
（Ⅱ）设
为来自总体的简单随机样本，求
的最大似然估计量
（Ⅲ）证明为的无偏估计量
【考点】常见随机变量的分布；最大似然估计法；估计量的评选标准
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）正态分布 
，
（ii）似然函数 
，对数似然方程 
（iii）若估计量
的数学期望
存在，且对于任意
有
，则称
是未知参数
的无偏估计量.
（Ⅰ）由条件知
服从正态分布，且
，
，
即
，从而的概率密度为
，
.
（Ⅱ）由条件知似然函数为
，
，
，
，
令
，解得
.
于是
的最大似然估计量为
.
（Ⅲ）由于
，
从而可知，
为的无偏估计量.
考研
