浙江省2013年1月高等教育自学考试

微分几何试题

课程代码：10022

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

一、单项选择题(本大题共4小题，每小题2分，共8分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。

1．曲线在P（s）点的基本向量为；在P点的曲率k(s)，挠率为τ(s)，则k(s)是

A.                                                                    B.

C.                                                                    D. 

2.下列曲面中，为可展曲面的是

A.锥面                                                                      B.单叶双曲面

C.双曲抛物面                                                          D.挠曲线的主法线曲面

3.下列选项中不是曲面的内蕴量的是

A.两曲线的夹角                                                      B.曲线的弧长

C.曲面域的面积                                                      D.在一点沿一方向的法曲率

4.若在曲面上某点处有E∶F∶G=L∶M∶N，且L、M、N不全为零，则这点叫曲面的

A.抛物点                                                                  B.平点     

C.圆点                                                                       D.双曲点

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

5.曲线=(t)在点(t₀)的单位切向量是，则曲线在(t₀)点的向量式法平面方程是___________.

6．设曲线=(s)，其中s为曲线的自然参数，则|′(s)|=___________.

7．若曲面S为平面,则其第二基本形式Ⅱ=___________.

8.半径为1的圆的挠率τ=___________.

9.曲面=(u,v)上使___________的点叫做曲面上的正常点.

10.曲面之间的一个变换，如果使两曲面间对应曲线的交角相等，则称这个变换为___________.

11.半径为2的球面的高斯曲率K=___________.

12.若曲面=(u,v)在（0，1）点处的第二基本形式Ⅱ=-du²+3dv², 为曲面的单位法向量，则在（0，1）点处， =___________.

13．曲线在P点的挠率τ₀___________时，表明曲线由下往上经过P点时成右旋曲线.

14．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和等于___________.

三、计算题(本大题共5小题，每小题9分，共45分)

15．求曲线={tcost,tsint,at}在坐标原点的曲率.

16．求曲线(t)={t,t²,t³}在点(0,0,0)的切线和法平面方程.

17．求曲面={u,v, }的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积.

18．求u-曲线的正交轨线的方程.

19．求曲面z=xy²的第二基本形式.

四、证明题(本大题共3小题，第20、21小题各6分，第22小题5分，共17分)

20．若向量函数(t)满足(t)×′(t)= .则(t)具有固定方向.

21.证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.

22.证明：若曲面的第一基本形式为ds²=du²+G(v)dv²，则曲面是可展曲面.