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2015年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

2．若a为实数，且，则a =

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4．向量，，则

5．设S_n等差数列的前n项和。若a₁ + a₃ + a₅ = 3，则S₅ =

6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

7．已知三点，，，则ΔABC外接圆的圆心到原点的距离为

8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a =

9．已知等比数列满足，a₃a₅ = ，则a₂ =

10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB = 90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O—ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为

11．如图，长方形ABCD的边AB = 2，BC = 1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠AOB = x。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为

12．设函数，则使得成立的x的取值范围是

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数的图象过点，则a = _________。

14．若x，y满足约束条件，则的最大值为__________。

15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________。

16．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a = __________。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，ΔABD面积是ΔADC面积的2倍。

（1）求；

（2）若AD = 1，，求BD和AC的长。

18．（本小题满分12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。

A地区用户满意度评分的频率分布直方图

B地区用户满意度评分的频数分布表

（1）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由

19．（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB = 16，BC = 10，AA₁ = 8，点E，F分别在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E = D₁F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，点在C上。

（1）求C的方程；

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

21．（本小题满分12分）

已知函数。

（1）讨论的单调性；

（2）当有最大值，且最大值大于2a - 2时，求a的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且，求四边形EBCF的面积。

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C₁：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：，C₃：。

（1）求C₂与C₃交点的直角坐标；

（2）若C₁与C₂相交于点A，C₁与C₃相交于点B，求的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：

（1）若ab > cd；则；

（2）是的充要条件。