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2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数   学（理工类）

第I卷

注意事项：

    1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

    2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 

（A） （B） （C） （D） 

（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为

（A）3（B）4（C）18（D）40

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为

（A） （B）6（C）14（D）18

（4）设 ，则“ ”是“ ”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

（5）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 分别经过点 .若 ，则线段 的长为

（A） （B）3（C） （D） 

（6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为

（A） （B）（C）（D）

（7）已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为

（A） （B） （C） （D） 

（8）已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是

（A） （B） （C）（D）

第II卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为             .

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为             .

（11）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为              .

（12）在 的展开式中， 的系数为        .

（13）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则 的值为            .

（14）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为                      .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分13分）已知函数，

(I)求最小正周期；

(II)求在区间上的最大值和最小值.

16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,,,

,且点M和N分别为的中点.

(I)求证：；

(II)求二面角的正弦值；

(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长