微信搜索关注"91考试网"公众号,领30元,获取公务员、事业编、教师等考试资料40G!
2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理
一、选择题
1.设集合,,则
A. B. C. D.
2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为
A.167 B.137 C.123 D.93
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为
A.5 B.6 C.8 D.10
4.二项式的展开式中的系数为15,则
A.4 B.5 C.6 D.7
5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
6.“”是“”的
A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要
7.对任意向量,下列关系式中不恒成立的是
A. B.|a-b|||a|-|b|| C.(a+b)2 =|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2
8根据右边的图,当输入x为2005时,输出的
A28 B10 C4 D2
9.设,若,,,则下列关系式中正确的是
A. B. C. D.
10.某企业生产甲乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为
A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元
|
甲 |
乙 |
原料限额 |
A(吨) |
3 |
2 |
12 |
B(吨) |
2 |
2 |
8 |
11.设复数,若,则的概率为
A. B. C. D.
12.对二次函数(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是
A.-1是的零点 B.1是的极值点 C.3是的极值 D.点在曲线上
二、填空
13.中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为
14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则p=
15.设曲线在点(0,1)处的切线与曲线上点p处的切线垂直,则p的坐标为
16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
17、(本小题满分12分)
的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.
求;
若,求的面积.
18、(本小题满分12分)
如图,在直角梯形中,,,,,是的中点,是与的交点.将沿折起到的位置,如图.
证明:平面;
若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值.
19、(本小题满分12分)
设某校新、老校区之间开车单程所需时间为,只与道路畅通状况有关,对其容量为的样本进行统计,结果如下:
(分钟) |
25 |
30 |
35 |
40 |
频数(次) |
20 |
30 |
40 |
10 |
求的分布列与数学期望;
刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
20、(本小题满分12分)
已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.
求椭圆的离心率;
如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.
21、(本小题满分12分)
设是等比数列,,,,的各项和,其中,,.
证明:函数在内有且仅有一个零点(记为),且;
设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为,比较与的大小,并加以证明.
请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.
22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,切于点,直线交于,两点,,垂足为.
证明:;
若,,求的直径.
23、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,的极坐标方程为.
写出的直角坐标方程;
为直线上一动点,当到圆心的距离最小时,求的直角坐标.
24、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知关于的不等式的解集为.
求实数,的值;
求的最大值.
1. A
2. B
3. C
4. C
5. D
6. A
7. B
8. B
9. C
10. D
11. B
12. A
13.
14.
15.
16.
17.(I)因为,所以,
由正弦定理,得
又,从而,
由于,所以
(II)解法一:由余弦定理,得
而
得,即
因为,所以.
故ABC的面积为.
考点:1、平行向量的坐标运算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面积公式.
18.(I)在图1中,
因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD=,所以BE AC
即在图2中,BE ,BE OC
从而BE平面
又CDBE,所以CD平面.
(II)由已知,平面平面BCDE,又由(1)知,BE ,BE OC
所以为二面角的平面角,所以.
如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,
因为,
所以
得 ,.
设平面的法向量,平面的法向量,平面与平面夹角为,
则,得,取,
,得,取,
从而,
即平面与平面夹角的余弦值为.
19.(I)由统计结果可得T的频率分步为
(分钟) |
25 |
30 |
35 |
40 |
频率 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.1 |
以频率估计概率得T的分布列为
|
25 |
30 |
35 |
40 |
|
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.1 |
从而 (分钟)
(II)设分别表示往、返所需时间,的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.
解法一:
.
解法二:
故.
20.(I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为,
则原点O到直线的距离,
由,得,解得离心率.
(II)解法一:由(I)知,椭圆E的方程为. (1)
依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且.
易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为,代入(1)得
设则
由,得解得.
从而.
于是.
由,得,解得.
故椭圆E的方程为.
解法二:由(I)知,椭圆E的方程为. (2)
依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且.
设则,,
两式相减并结合得.
易知,AB不与x轴垂直,则,所以AB的斜率
因此AB直线方程为,代入(2)得
所以,.
于是.
由,得,解得.
故椭圆E的方程为.
21.(I)则
所以在内至少存在一个零点.
又,故在内单调递增,
所以在内有且仅有一个零点.
因为是的零点,所以,即,故.
(II)解法一:由题设,
设
当时,
当时,
若,
若,
所以在上递增,在上递减,
所以,即.
综上所述,当时, ;当时
解法二 由题设,
当时,
当时, 用数学归纳法可以证明.
当时, 所以成立.
假设时,不等式成立,即.
那么,当时,
.
又
令,则
所以当,,在上递减;
当,,在上递增.
所以,从而
故.即,不等式也成立.
所以,对于一切的整数,都有.
解法三:由已知,记等差数列为,等比数列为,则,,
所以,
令
当时, ,所以.
当时,
而,所以,.
若, ,,
当,,,
从而在上递减,在上递增.所以,
所以当又,,故
综上所述,当时, ;当时
22.(I)因为DE为圆O的直径,则,
又BCDE,所以CBD+EDB=90°,从而CBD=BED.
又AB切圆O于点B,得DAB=BED,所以CBD=DBA.
(II)由(I)知BD平分CBA,则,又,从而,
所以,所以.
由切割线定理得,即=6,
故DE=AE-AD=3,即圆O的直径为3.
23.(I)由,
从而有.
(II)设,则,
故当t=0时,|PC|取最小值,此时P点的直角坐标为(3,0).
24.(I)先由可得,再利用关于的不等式的解集为可得,的值;(II)先将变形为,再利用柯西不等式可得的最大值.
试题解析:(I)由,得
则解得,
(II)
当且仅当,即时等号成立,
故.