2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理

一、选择题

1.设集合，，则

A．  B．  C．   D．

2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为

A．167   B．137    C．123   D．93

3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为

A．5    B．6    C．8    D．10

4.二项式的展开式中的系数为15，则

A．4   B．5   C．6   D．7

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．   B．   C．   D．

6.“”是“”的

A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要

7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是

A．   B．|a-b|||a|-|b||   C．(a+b)² =|a+b|²  D．（a+b）(a-b)=a²-b²

8根据右边的图，当输入x为2005时，输出的                                         

A28    B10    C4     D2          

9.设，若，，，则下列关系式中正确的是

A．     B．    C．    D．

10.某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为

A．12万元   B．16万元   C．17万元   D．18万元   

11.设复数，若，则的概率为

A．   B．   C．   D．

12.对二次函数（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是

A．-1是的零点  B．1是的极值点  C．3是的极值   D.点在曲线上

二、填空

13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为        

14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p=   

15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则p的坐标为      

16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为     

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17、（本小题满分12分）

    的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．

求；

若，求的面积．

18、（本小题满分12分）

    如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

证明：平面；

若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

19、（本小题满分12分）

  设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：

求的分布列与数学期望；

刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

20、（本小题满分12分）

  已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．

求椭圆的离心率；

如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

21、（本小题满分12分）

     设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．

证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；

设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．

证明：；

若，，求的直径．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．

写出的直角坐标方程；

为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于的不等式的解集为．

求实数，的值；

求的最大值．

1. A

2. B

3. C

4. C

5. D

6. A

7. B

8. B

9. C

10. D

11. B

12. A

13.

14. 

15.  

16.  

17．（I）因为，所以，

由正弦定理，得

又，从而，

由于，所以

(II)解法一：由余弦定理，得

而

得，即

因为，所以.

故ABC的面积为.

考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.

18．（I）在图1中，

因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BE AC

即在图2中，BE  ，BE OC

从而BE平面

又CDBE，所以CD平面.

(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE  ，BE OC

所以为二面角的平面角，所以.

如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，

因为,

所以

得 ，.

设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，

则，得，取，

，得，取，

从而，

即平面与平面夹角的余弦值为.

19．（I）由统计结果可得T的频率分步为

以频率估计概率得T的分布列为

从而  （分钟）

(II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.

解法一：

.

解法二：

故.

20．（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，

则原点O到直线的距离，

由，得，解得离心率.

(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为.              (1)

依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.

易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得

设则

由，得解得.

从而.

于是.

由，得，解得.

故椭圆E的方程为.

解法二：由（I）知，椭圆E的方程为.              (2)

依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.

设则，，

两式相减并结合得.

易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率

因此AB直线方程为，代入(2)得

所以，.

于是.

由，得，解得.

故椭圆E的方程为.

21．（I）则

所以在内至少存在一个零点.

又，故在内单调递增，

所以在内有且仅有一个零点.

因为是的零点，所以，即，故.

(II)解法一：由题设，

设

当时,

当时,

若,

若,

所以在上递增，在上递减，

所以，即.

综上所述，当时, ；当时

解法二  由题设，

当时,

当时, 用数学归纳法可以证明.

当时, 所以成立.

假设时，不等式成立，即.

那么，当时，

.

又

令，则

所以当,,在上递减；

当,,在上递增.

所以，从而

故.即，不等式也成立.

所以，对于一切的整数，都有.

解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，

所以,

令

当时, ,所以.

当时,

而，所以，.

若, ,,

当,,,

从而在上递减,在上递增.所以，

所以当又,，故

综上所述，当时, ；当时

22．（I）因为DE为圆O的直径，则，

又BCDE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.

又AB切圆O于点B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.

（II）由（I）知BD平分CBA，则,又，从而，

所以，所以.

由切割线定理得，即=6，

故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.

23．（I）由，

从而有.

(II)设,则，

故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.

24．（I）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（II）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．

试题解析：（I）由，得

则解得,

（II）

当且仅当，即时等号成立，

故.