绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．

·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．

·球的体积公式.其中表示球的半径.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合，则

（A）（B）（C）（D）

（2）设，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

（A）（B）（C）（D）

（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为19，则输出的值为

（A）0 （B）1（C）2（D）3

（5）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为

（A）（B）（C）（D）

（6）已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为

（A）（B）（C）（D）

（7）设函数，其中.若且的最小正周期大于，则

（A）（B）（C）（D）

（8）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .

（10）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .

（11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .

（12）设抛物线的焦点为F，学 科&网准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .

（13）若a，，，则的最小值为 .

（14）在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 .

三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

在中，内角所对的边分别为.已知，.

（I）求的值；

（II）求的值.

（16）（本小题满分13分）

电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，学&科网表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

（18）（本小题满分13分）

已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，

.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

（19）（本小题满分14分）

设，.已知函数，.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x₀，y₀）处有相同的切线，

（i）求证：在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.

（20）（本小题满分14分）

已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.

（i）求直线的斜率；

（ii）求椭圆的方程.

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）答案

（1）B                 （2）B                        （3）C                        （4）C         

（5）D                 （6）C                        （7）A                        （8）A

（9）−2                                                   （10）1                       （11）

（12）                （13）4                       （14）

（15）（Ⅰ）解：由，及，得.

由，及余弦定理，得.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.

由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，

，故

.

16.（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：

（Ⅱ）解：设总收视人次为万，则目标函数为.

考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大.

解方程组得点M的坐标为.

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

（17）本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，学|科网故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC­–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

18.（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.

由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.

所以，的通项公式为，的通项公式为.

（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有

，

，

上述两式相减，得

.

得.

所以，数列的前项和为.

19.【解析】（I）由，可得

，

令，解得，或.由，得.

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（II）（i）因为，由题意知，

所以，解得.

所以，在处的导数等于0.

（ii）因为，，由，可得.

又因为，，故为的极大值点，由（I）知.

另一方面，由于，故，

由（I）知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.

由，得，.

令，，所以，

令，解得（舍去），或.

因为，，，故的值域为.

所以，的取值范围是.

（20）（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.

所以，椭圆的离心率为.

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.

由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=，有，整理得，所以