一、知识铺垫

1、什么是极限思想

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。如一条船顺水而下用时t1，逆流而上用时t2，则当水速增大时，t1+t2如何变化?当水速增大时，t1会变小，而t2会变大，但是，t1与t2，哪个变化大不知道，所以t1+t2如何变化也不清楚。此时如果改用极限的思想来思考的话就会比较简单，假设水速增大到无限大，则此船肯定回不来了，即t2无限大，此时虽然t1变小，但相对于t2而言，t1的变化幅度要小得多。所以，t1+t2变大了。

2、适用极限思想的题的题型特征

题干或问法中出现最大或最小、最多或最少、至多或至少。

3、极限思想的核心：凑、均、等、接近。

二、极限思想之和定与积定的应用

【^91考试网提醒】和定，差小积大;积定，差小和小

【定理】若a、b是实数，则，等号当且仅当a=b的时候取得。

【推论】若a、b均是正实数，则：a+b≥2，当且仅当a=b时取等号。

【例1】若两个自然数的和为20，求这两个自然数积的最大值。

【^91考试网解析】根据a+b≥2，等号当且仅当a=b的时候取得。可得，ab要取得最大值仅当a=b的时候取得，所以这两个数分别都是10时，它们的积取到最大值，且最大值

【^91考试网提示】和一定的两个数，差越小，积越大(针对两个数取不到相等的情况)。

【例2】若两个自然数的积为100，求这两个自然数和的最小值。

【^91考试网解析】根据a+b≥2，可得这两个自然数的和。所以，这两个自然数和的最小值为20。

【^91考试网提示】积一定的两个数，差越小，和越小(针对两个数取不到相等的情况)。