2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1、=（　　　　　）．

2、曲线在点（0，1）处 的切线方程为 ：（　　　　　　）．

3、=（　　　　　）．

4、微分方程满足=0的特解为：（　　　　　　　）．

5、方程组有无穷多解，则=（　　　　　）．

二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)

1、则=

    （ A ） 0；（B）1；（C）；  （D）．

2、时，是比高阶的无穷小，而是比

高阶的无穷小，则正整数等于

 （ A ）1；（B）2；（C）3；（D）4．

3、曲线的拐点的个数为

     （ A ）０；（B）１；（C）２；（D）３．

4、函数在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导， 严格单调减小，且

     ==1，则

    （A）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有；

    （B）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有；

    （C）在（1-δ，1）内有，在（1，1+δ）内有；

    （D）在（1-δ，1）内有，在（1，1+δ）内有．

5、设函数在定义域内可导，的图形如右图所示：

则的图形为 (   )

三、（本题满分6分）求．

四、（本题满分7分）求函数=的表达式，并指出函数的间断点及其类型．

五、（本题满分7分）设是抛物线上任意一点M（）（）处的曲率半径，是该抛物线上介于点A（1，1）与M之间的弧长，计算的值（曲率K＝）．

六、（本题满分7分）在[0，+）可导，=0，且其反函数为．

     　 若，求．

七、（本题满分7分）设函数，满足=， =2－

        且=0，=2，求         

八、（本题满分9分）设L为一平面曲线，其上任意点P（）（）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在轴上的截距，且L过点（0.5，0）．

1、  求L的方程

2、  求L的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．

九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比

       比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为  r₀  的雪堆　

在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？

十、（本题满分8分）在[-a，a]上具有二阶连续导数，且=0

1、  写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

2、  证明在[-a，a]上至少存在一点，使

十一、（本题满分6分）已知且满足

             AXA+BXB=AXB+BXA+E，求X．

十二、（本题满分6分）设为线性方程组AX=O的一个基础解系，

       ，其中为实常数

      试问满足什么条件时也为AX=O的一个基础解系．