2004年考硕数学（二）真题

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1）设, 则的间断点为     .

（2）设函数由参数方程  确定, 则曲线向上凸的取值范围为____..

（3）_____..

（4）设函数由方程确定, 则______.

（5）微分方程满足的特解为_______.

（6）设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 则______-.

二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）

（7）把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A）               （B）

（C）               （D）                    

（8）设, 则

（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点.

（B）不是的极值点, 但是曲线的拐点.

（C）是的极值点, 且是曲线的拐点.

（D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点.  

（9）等于

（A）.           （B）.

（C）.         （D）                 

（10）设函数连续, 且, 则存在, 使得

（A）在内单调增加.

（B）在内单调减小.

（C）对任意的有.

（D）对任意的有.                        

（11）微分方程的特解形式可设为

（A）.

（B）.

（C）.

（D）                                 

（12）设函数连续, 区域, 则等于

（A）.

（B）.

（C）.

（D）                           

（13）设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 则满足的可逆矩阵为

（A）.        （B）. 

（C）.          （D）.                     

（14）设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有

（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.

（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.

（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.

（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.            

三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

（15）（本题满分10分）

求极限.

（16）（本题满分10分）

设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.

(Ⅰ)写出在上的表达式; (Ⅱ)问为何值时, 在处可导.

（17）（本题满分11分）

设,(Ⅰ)证明是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求的值域.

（18）（本题满分12分）

曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.

(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)计算极限.

（19）（本题满分12分）设, 证明.

（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

 注 表示千克,表示千米/小时.

（21）（本题满分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.

（22）（本题满分9分）

设有齐次线性方程组

试问取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

（23）（本题满分9分）

设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论是否可相似对角化.