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2003年考研数学（二）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若
时，
与
是等价无穷小，则a= .
（2） 设函数y=f(x)由方程
所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
（3） 
的麦克劳林公式中
项的系数是__________.
（4） 设曲线的极坐标方程为
，则该曲线上相应于
从0变到
的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.
（5） 设
为3维列向量，
是的转置. 若
，则
= .
（6） 设三阶方阵A,B满足
，其中E为三阶单位矩阵，若
，则
________.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设
均为非负数列，且
,
,
,则必有
(A) 
对任意n成立. (B) 
对任意n成立.
(C) 极限
不存在. (D) 极限
不存在. [ ]
（2）设
, 则极限
等于
(A) 
. (B) 
.
(C) 
. (D) 
. [ ]
（3）已知
是微分方程
的解，则
的表达式为
（A） 
(B) 
(C) 
(D) 
[ ]
（4）设函数f(x)在
内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
(A) 一个极小值点和两个极大值点.
(B) 两个极小值点和一个极大值点.
(C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y
O x
（5）设
,
, 则
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
[ ]
（6）设向量组I：
可由向量组II：
线性表示，则
(A) 当
时，向量组II必线性相关. (B) 当
时，向量组II必线性相关.
(C) 当时，向量组I必线性相关. (D) 当时，向量组I必线性相关.
[ ]
三 、（本题满分10分）设函数 
问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？
四 、（本题满分9分）
设函数y=y(x)由参数方程
所确定，求
五 、（本题满分9分）计算不定积分 
六 、（本题满分12分）
设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且
是y=y(x)的反函数.
(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)满足的微分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件
的解.
七 、（本题满分12分）
讨论曲线
与
的交点个数.
八 、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点
，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.
(1) 求曲线 y=f(x)的方程；
(2) 已知曲线y=sinx在
上的弧长为
，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.
九 、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线
绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以
的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以
的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.
(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与
之间的关系式；
(2) 求曲线
的方程.
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)
十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且
若极限
存在，证明：
(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点
，使
；
(3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点
，使
十 一、（本题满分10分）
若矩阵
相似于对角阵
，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使
十二 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
， 
， 
.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
2003年考研数学（二）真题评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若
时，
与
是等价无穷小，则a= .
（2） 设函数y=f(x)由方程
所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
（3） 
的麦克劳林公式中
项的系数是 .
（4） 设曲线的极坐标方程为
，则该曲线上相应于
从0变到
的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .
（5） 设
为3维列向量，
是的转置. 若
，则
= .
（6） 设三阶方阵A,B满足
，其中E为三阶单位矩阵，若
，则
.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设
均为非负数列，且
,
,
,则必有
(A) 
对任意n成立. (B) 
对任意n成立.
(C) 极限
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