.                         .                     【答案】 B 

【解析】根据若

分块矩阵的行列式即分块矩阵可逆

（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则 为

.                               .      

.                              .                【答案】  A

【解析】，即：

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）曲线在处的切线方程为              

【答案】

【解析】

所以   

所以    切线方程为

（10）已知,则                                   【答案】

【解析】

因为极限存在所以

（11）                                            【答案】0

【解析】令

所以

即

（12）设是由方程确定的隐函数，则     【答案】

【解析】对方程两边关于求导有，得

对再次求导可得，

得 

当时，，，代入得

（13）函数在区间上的最小值为                          【答案】

【解析】因为，令得驻点为。

又，得，

故为的极小值点，此时，

又当时，；时，，故在上递减，在上递增。

而，，

所以在区间上的最小值为。

(14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则

                                                                  【答案】

【解析】因为相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值是，而是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则。

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求极限

【解析】

（16）（本题满分10 分）

计算不定积分 

【解析】方法一：令得

方法二：

即

（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与

【解析】

（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。

【解析】微分方程得其通解为任意常数

令，则，微分方程变形为

得到其中为任意常数

即得到其中为任意常数

又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得

从而

于是，所求非负函数

又由可得，在第一象限曲线表示为

于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中

（19）（本题满分10分）

求二重积分，其中。

【解析】由得，

（20）（本题满分12分）

设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足。求的表达式

【解析】由题意，当时，，即，得，

又代入得，从而有

当时，得  的通解为      

令解为，则有，得，

故，得的通解为    

由于是内的光滑曲线，故在处连续

于是由，故时，在处连续

又当 时，有，得，

当时，有，得   

由得，即   

故 的表达式为或

，又过点，

所以。

（21）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得

（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。

【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：

；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。

根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即

（Ⅱ）任取，则函数满足；

在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……

又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：

故存在，且。

（22）（本题满分11分）设，

（Ⅰ）求满足的所有向量

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关。

【解析】（Ⅰ）解方程

 故有一个自由变量，令，由解得，

 求特解，令，得

 故 ，其中为任意常数 

解方程

故有两个自由变量，令，由得

令，由得

求特解 故   ，其中为任意常数

（Ⅱ）证明：由于

故 线性无关.

（23）（本题满分11分）设二次型

（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。

【解析】（Ⅰ） 

（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则

1)         若，则  ， ，不符题意

2)         若 ，即，则，，符合

3)         若 ，即，则 ，，不符题意

综上所述，故