2014年考研数学二真题附答案详解

一、选择题  1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（  ）

（A）      （B）    （C）     （D）

2．下列曲线有渐近线的是

（A）    （B）（C）   （D）

3．设函数具有二阶导数，，则在上（  ）

（A）当时，  （B）当时，

（C）当时，  （D）当时，

4．曲线 上对应于的点处的曲率半径是（    ）

（Ａ）（Ｂ）　　(Ｃ）　（Ｄ）

5．设函数，若，则（    ）

（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　

6．设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（      ）．

   （A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

   （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

   （C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

   （D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

7．行列式等于

（A）      （B）　　（C）  （D）

8．设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的

（A）必要而非充分条件             （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件                 （D） 非充分非必要条件

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．        ．

10．设为周期为4的可导奇函数，且，则                ．

11．设是由方程确定的函数，则             ．

12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为              ．

13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标      ．

14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是              ．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限．

16．（本题满分10分）

已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．

17．（本题满分10分）

设平面区域．计算

18．（本题满分10分）

设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．

19．（本题满分10分）

设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：

（1）；

（2）．

20．（本题满分11分）

设函数，定义函数列

，，

设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．

21．（本题满分11分）

已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．

22．（本题满分11分）

设，E为三阶单位矩阵．

（1）求方程组的一个基础解系；

（2）求满足的所有矩阵．

，

23．（本题满分11分）

证明阶矩阵与相似．

2014年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）B

（2）B

（3）D

（4）C

（5）D

（6）A

（7）B

（8）A

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）[-2,2]

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）【答案】

（16）【答案】

因为

           ，①

得到

，

，。

所以时，取极大值。

时，取极小值。

由①可知，

，

因为，所以，。

所以时，取极大值。

时，取极小值。

（17）【答案】

（18）【答案】

令，

则，

故

由得

（19）【答案】

证明：1）因为，所以有定积分比较定理可知，，即

。

2）令

由1）可知，

所以。

由是单调递增，可知

由因为，所以，单调递增，所以，得证。

（20）【答案】

因为

所以

所以

（21）【答案】

（22）【答案】①  ②

（23）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。