1988年考研数学(一)真题

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求幂级数的收敛域.

(2)设且,求及其定义域.

(3)设为曲面的外侧,计算曲面积分 

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)

(1)若则= _____________.

(2)设连续且则=_____________.

(3)设周期为2的周期函数,它在区间上定义为   ,则的傅里叶级数在处收敛于_____________.

(4)设4阶矩阵其中均为4维列向量,且已知行列式则行列式= _____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设可导且则时在处的微分是

(A)与等价的无穷小               (B)与同阶的无穷小  

(C)比低阶的无穷小              (D)比高阶的无穷小

(2)设是方程的一个解且则函数在点处

(A)取得极大值                       (B)取得极小值  

(C)某邻域内单调增加                 (D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域则

(A)                 (B)      

(C)                (D) 

(4)设幂级数在处收敛,则此级数在处

(A)条件收敛                       (B)绝对收敛

(C)发散                        (D)收敛性不能确定

(5)维向量组线性无关的充要条件是

(A)存在一组不全为零的数使

(B)中任意两个向量均线性无关          

(C)中存在一个向量不能用其余向量线性表示

(D)中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

   设其中函数、具有二阶连续导数,求

五、(本题满分8分)

设函数满足微分方程其图形在点处的切线与曲线在该点处的切线重合,求函数

六、（本题满分9分）

设位于点的质点对质点的引力大小为为常数为质点与之间的距离),质点沿直线自运动到求在此运动过程中质点对质点的引力所作的功.

七、（本题满分6分）

   已知其中求

八、（本题满分8分）

已知矩阵与相似.

(1)求与

(2)求一个满足的可逆阵

九、（本题满分9分）

   设函数在区间上连续,且在内有证明:在内存在唯一的使曲线与两直线所围平面图形面积是曲线与两直线所围平面图形面积的3倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次独立试验中,事件出现的概率相等,若已知至少出现一次的概率等于则事件在一次试验中出现的概率是____________.

(2)若在区间内任取两个数,则事件”两数之和小于”的概率为____________.

(3)设随机变量服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

则落在区间内的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量的概率密度函数为求随机变量的概率密度函数