【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数

在点的两个偏导数存在,且有

；

.

(2)【解析】方法一：用重积分的方法.

将累次积分表成二重积分

,

其中如右图所示.交换积分次序

.

由于定积分与积分变量无关,改写成

.

           .

方法二：用分部积分法.

注意,将累次积分写成

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)

(1)【解析】将曲面积分化为二重积分.

首先确定被积函数      ,

对锥面而言,  .

其次确定积分区域即在平面的投影区域

(见右图),按题意：

,即.

.

作极坐标变换,则

,

因此       .

(2)【解析】这就是将作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得的傅氏系数：

.

由于(延拓后)在分段单调、连续且.于是有展开式

.

五、(本题满分7分)

【解析】设点的坐标为,则处的切线方程为 .

令,得,切线与轴的交点为.由,有

.

化简后得伯努利方程      .

令,方程化为一阶线性方程    .

解得  ,即   ,亦即  .

又由,得,的方程为  .

六、(本题满分8分)

【解析】在平面上与路径无关(其中有连续偏导数),

          ,即  .

对积分得    ,其中待定.代入另一等式得对,

            .         ①

下面由此等式求.

方法一：易求得原函数

于是由①式得  .

即            ,亦即    .

求导得        ,即   .

因此          .

方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.

于是得     .

即         ,亦即   .

其余与方法一相同.

七、(本题满分8分)

【解析】(1)反证法.假设,使.则由罗尔定理,与

使；从而由罗尔定理, ,.这与

矛盾.

(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”

这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证在存在零点.

方法一：注意到    ,

考察的原函数,令

,

在可导,.由罗尔定理,,使.即有

,亦即    .

方法二：若不能像前面那样观察到的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：

.

(取).

令,其余与方法一相同.

八、(本题满分7分)

【解析】设对应于的特征向量为,因为为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故,即.

解之得      .

于是有      ,

所以       

.

九、(本题满分6分)

【解析】方法一：根据有

,

移项得      .

因为,故.所以.

方法二：因为,

所以        ,

即          .

因为,故.所以.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)

(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以服从的二项分布.

由二项分布的数学期望和方差计算公式,有

,

根据方差性质有       .

(2)【解析】令,则

.

由概率的广义加法公式  ,有

十一、(本题满分6分)

【解析】方法1：用分布函数法先求的分布函数.

当时,   

当时,   

所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得

或者直接将对求导数得

方法2：用单调函数公式直接求的概率密度.

由于在内单调,其反函数在内可导且其导数为

,则所求概率密度函数为

【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若,,均一阶可导,则

.