2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)设函数则的零点个数

(A)0                           (B)1                

(C)2                           (D)3

(2)函数在点处的梯度等于

(A)                        (B)-               

(C)                        (D)

(3)在下列微分方程中,以(为任意常数)为通解的是

(A)               (B)

(C)               (D)

(4)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是

(A)若收敛,则收敛              (B)若单调,则收敛

(C)若收敛,则收敛             (D)若单调,则收敛

(5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 若,则

   (A)不可逆,不可逆           (B)不可逆,可逆

   (C)可逆,可逆               (D)可逆,不可逆

(7)设随机变量独立同分布且分布函数为,则分布函数为

(A)                     (B)

(C)                   (D)

(8)设随机变量,且相关系数,则

(A)             (B)

(C)             (D)

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)微分方程满足条件的解是.

(10)曲线在点处的切线方程为.

(11)已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为.

(12)设曲面是的上侧,则.

(13)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,,则的非零特征值为.

(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则.

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求极限.

(16)(本题满分10分)

   计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的一段.

(17)(本题满分10分)

已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点.

(18)(本题满分10分)

设是连续函数,

(1)利用定义证明函数可导,且.

(2)当是以2为周期的周期函数时,证明函数也是以2为周期的周期函数.

(19)(本题满分10分)

,用余弦级数展开,并求的和.

(20)(本题满分11分)

,为的转置,为的转置.证明:

(1).    (2)若线性相关,则.

(21)(本题满分11分)

设矩阵,现矩阵满足方程,其中,,

(1)求证.

(2)为何值,方程组有唯一解,求.

(3)为何值,方程组有无穷多解,求通解.

(22)(本题满分11分)

设随机变量与相互独立,的概率分布为,的概率密度为,记,

(1)求.

(2)求的概率密度.

(23)(本题满分11分)

设是总体为的简单随机样本.

记,,

    (1)证明是的无偏估计量.

(2)当时 ,求.