函数的任一原函数可表示为，且

当为偶函数时，有，于是，即，亦即，可见为奇函数；

反过来，若为奇函数，则，令，则有，所以    ，

从而      为偶函数，可见(A)为正确选项.

方法2：排除法，

令, 则取, 排除(B)、(C); 

令， 则取, 排除(D);

 (9)【答案】B

【详解】因为，

        ，

于是 ，

         ，

         ，

可见有，应选(B).

(10)【答案】D

【详解】隐函数存在定理：设在点的某领域内具有连续的一阶偏导数，且.则存在点的某邻域,在此邻域内由方程可以确定唯一的连续偏导数的函数满足,且

同理，如果,可确定满足;

,可确定满足.

本题中可令, 则

， ，，

所以    ，，.

由于，所以由隐函数存在定理知，不一定能确定具有连续偏导数的函数，所以排除(A)、(B)、(C)，而和，所以可确定两个具有连续偏导数的隐函数和，故应选(D).

(11)【答案】B

【详解】

方法1：利用线性无关的定义

分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.

设有数，使得，则

.

因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，则

当时，方程只有零解，则，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(否则，与=线性相关)，故应选(B).

方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式

分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.

由于  ，

因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知线性无关. 若，线性无关，则，则

，

故，从而，从而

若，则，又线性无关，则

，

则

从而，线性无关的充要条件是故应选(B).

方法3：利用矩阵的秩

分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.

因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，又，故，线性无关

又因为      

则(若，与矛盾)

方法4：利用线性齐次方程组

分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.

由，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，

线性无关

线性无关

，

只有零解，又

只有零解

线性无关时只有零解，故，只有零解，

的系数矩阵是个可逆矩阵，

，故应选(B)

方法5：由，线性无关

分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.

向量组和向量组. 显然向量组可以由向量组线性表出；当时，不论的取值如何，向量组可以由向量组线性表出

，，

从而，是等价向量组当时，

(12)【答案】(C)

【详解】

方法1：由题设，存在初等矩阵(交换阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得，(进行行变换，故左乘初等矩阵)，于是  ，

又初等矩阵都是可逆的，故  ，

又(行列式的两行互换，行列式反号)，，故

，

即,可见应选(C).

方法2：交换的第一行与第二行得，即.

又因为是可逆阵，，故，

所以可逆，且.

又，故，又因，故.

(13)【答案】B

【详解】

方法1：由二维离散型随机变量联合概率分布的性质， 有，

可知，又事件与相互独立，于是由独立的定义有：

，

而     

由边缘分布的定义：

代入独立等式，得，解得，

方法2：如果把独立性理解为：(因为独立，所以发生与发不发生没有关系)，即

所以    ;

因此   

上式两边同乘以，有

由乘法公式：，上式即为

即. 又因为，得.

(14)【答案】D 

【概念】分布的定义：若，，则 

分布的定义：若相互独立，且都服从标准正态分布，则

正态分布标准化的定义：若，则

【详解】因为来自总体的简单随机样本，独立正态分布的线性组合也服从正态分布，故.

将其标准化有：，故(A)错

又，故(C)错;

而，不能断定(B)是正确选项.

又 ，且相互独立，于是 故应选(D).

三、解答题

(15)【详解】

方法1：令 ，

.

于是有   

从而 

=(二重积分对区域的可加性)

(用极坐标把不同区域上的二重积分化为累次积分)

(根据牛—莱公式)

 (凑微分)

=

方法2：用极坐标

(根据牛—莱公式)

.

而   

从而  (定积分对区域的可加性)

(根据牛—莱公式)

(16)【详解】因为

，

所以，由比值判别法知，当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(－1,1). 另外，当时由于通项极限不为零，故原幂级数在处为发散的.

，

对，由等比级数求和公式得

，

对，则由幂级数在收敛区间上可导并有逐项求导公式得　　

同理可得

，

可得

所以，由牛—莱公式得　

同理得

   (分部积分)

      (计算出微分)

  (凑微分)

        (基本积分表中的公式)

从而　　 ， .

(17)【详解】由直线过和两点知直线的斜率为2. 由直线是曲线在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知. 同理可得. 另外由点(3,2)是曲线的一个拐点知

由分部积分公式，

                  =

                  =

 (18)【详解】

(I) 令，则在[0，1]上连续，且, ,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在 使得，即.

(II) 在和上对分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，

于是  

(19)【详解】

(I) 如图，将分解为：，另作

一条曲线围绕原点且与相接，则

.

(II) 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由(I)知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. 经计算，

                    ①

  ②

由③得，将代入④得　

所以，从而

(20)【详解】 (I) 二次型对应矩阵为

，

由二次型的秩为2，知，所以，

，

得.

(II) 当时，， 所以

两边取行列式，

令，解得，故有特征值为.

当时，根据特征值的定义，有，即，，因为未知数个数为3，故的基础解系中含有2个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解，同解方程组为，选为自由未知量，分别取和，得特征向量为：

，

(根据特征向量的定义，即为特征值所对应的特征向量)因为，故正交.

当时，由，即

，

对系数矩阵作初等行变换，

，

故

，

基础解系中含有1个(未知量的个数—系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组

，

选为自由未知量，取 (选取任意非零常数都可，因为特征向量必须为非零向量，不能选0) ，得特征向量为：

由于实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，故，两两正交，将，单位化，

，

其中，，

取，即为所求的正交变换矩阵，故，则，令，则

，

可化原二次型为标准形：

=

(III) 方法1：由=0，得(因为方程中不含有)则(为任意常数). 从而所求解为：

=，

其中为任意常数.

方法2：用配方法，方程，得

     ，

系数矩阵的秩为2，因为未知数的个数为3，故它的基础解系中含有1个(未知数的个数—系数矩阵的秩)线性无关的解向量，选为自由未知量，取，解得，

所以，的解为，为任意常数.

(21)【详解】 由知，的每一列均为的解，且(3是的列数或的行数)

(1) 若, 不成比例，成比例，则, 方程组的解向量中至少有两个线性无关的解向量，故它的基础解系中解向量的个数，又基础解系中解向量的个数=未知数的个数，于是.

 又矩阵的第一行元素不全为零，显然, 故. 可见此时的基础解系由 个线性无关解向量组成，是方程组的解且线性无关，可作为其基础解系，故 的通解为：

为任意常数.

(2) 若，则均成比例，故=1, 从而故或.

①若, 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成，是方程组的基础解系， 则的通解为：为任意常数.

②若, 则的三个行向量成比例，因第1行元素不全为零，不妨设，则的同解方程组为：, 系数矩阵的秩为1，故基础解系由个线性无关解向量组成，选为自由未知量，分别取或，方程组的基础解系为，则其通解为为任意常数.

(22)【详解】(I)由边缘密度函数的定义：，

则关于的边缘概率密度为：

===

关于的边缘概率密度

===

(因为，故的取值范围为)

(II)由分布函数的定义：

(1) 当时，(由定义域为，，故，则是不可能事件)

(2) 当时,  如图转换成阴影部分的二重积分

==;

(3) 当时， (因最大取1，最小取0，故最大就只能取到2，所以是必然事件)

所以分布函数为： 

由密度函数与分布函数的关系：

故所求的概率密度为：

(23)【详解】由题设为来自总体的简单随机样本，知相互独立，且，

(方差的性质：,(独立))

(根据期望的性质：)

(I)(由于不独立，所以把中含有的剔出来，则与剩下的就相互独立)

              ==

(方差