全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

说明：在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.

一、  单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设行列式=2,则=(　　　)

A.-12 B.-6 C.6 D.12

2.设矩阵A=,则A*中位于第1行第2列的元素是(　　　)

A.-6 B.-3 C.3 D.6

3.设A为3阶矩阵，且|A|=3，则=(      )

A.3 B. C. D.3

4.已知43矩阵A的列向量组线性无关，则AT的秩等于(      )

A.1 B.2 C.3 D.4

5.设A为3阶矩阵,P =,则用P左乘A，相当于将A (      )

A.第1行的2倍加到第2行

B.第1列的2倍加到第2列

C.第2行的2倍加到第1行

D.第2列的2倍加到第1列

6.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为(      )

A.1 B.2 C.3 D.4

7.设4阶矩阵A的秩为3，为非齐次线性方程组Ax =b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为(      )

A. B. C. D.

8.设A是n阶方阵，且|5A+3E|=0，则A必有一个特征值为(      )

A. B. C. D.

9.若矩阵A与对角矩阵D=相似，则A3=(      )

A.E B.D C.A D.-E

10.二次型f =是(      )

A.正定的 B.负定的 C.半正定的 D.不定的

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式=____________.

12.设3阶矩阵A的秩为2，矩阵P =，Q =，若矩阵B=QAP ,

则r(B)=_____________.

13.设矩阵A=，B=，则AB=_______________.

14.向量组=(1,1,1,1),=(1,2,3,4),=(0,1,2,3)的秩为______________.

15.设,是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则r(A)=______________.

16.非齐次线性方程组Ax =b的增广矩阵经初等行变换化为，

则方程组的通解是__________________________________.

17.设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=___________.

18.设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为_________.

19.二次型f=的正惯性指数为_________.

20.二次型f=经正交变换可化为标准形______________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算行列式D =

22.设A=，矩阵X满足关系式A+X=XA,求X.

23.设均为4维列向量，A=（）和B=（）为4阶方阵.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.

24.已知向量组=(1,2,1,1)T,=(2,0,t,0)T,=(0,4,5,2)T,=(3,2,t+4,-1)T（其中t为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.

25.求线性方程组.

（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）

26.已知向量(1,1,1)T，求向量,使两两正交.

四、证明题（本题6分）

27.设A为mn实矩阵，ATA为正定矩阵.证明：线性方程组A=0只有零解.