全国2012年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设行列式=2，则=（      ）

A．-6 B．-3

C．3 D．6

2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（      ）

A．E+A-1 B．E-A

C．E+A D．E-A-1

3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（      ）

A．可逆，且其逆为 B．不可逆

C．可逆，且其逆为 D．可逆，且其逆为

4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是（      ）

A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0

C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5．已知向量则=（      ）

A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T

C．（1，-1，-2，0）T D．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（      ）

A．1 B．2

C．3 D．4

7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是（      ）

A．+是Ax=0的解 B．+是Ax=b的解

C．-是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解

8．设三阶方阵A的特征值分别为，则A-1的特征值为（      ）

A． B．

C． D．2,4,3

9．设矩阵A=，则与矩阵A相似的矩阵是（      ）

A． B．

C． D．

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（      ）

A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B．正定矩阵的行列式一定小于零

C．正定矩阵的行列式一定大于零 D．正定 矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB)3)=__________．

12．设3阶矩阵A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________．

13．设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=__________．

14．实向量空间Rn的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________．

16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．

17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则=__________．

18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

20．二次型的正惯性指数是__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式．

22．设矩阵A=，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B．

23．设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

24．设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量．

25．求下列齐次线性方程组的通解．

26．求矩阵A=的秩．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设三阶矩阵A=的行列式不等于0，证明：

线性无关．