23. (本小题满分10分)选修4一4坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程是 （t为参数)，圆C的极坐标方程为 .

(I)将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程；

(II)若圆c上有且仅有三个点到直线l距离为 ，求实数a的值.

24. （本小题满分10分)选修4一5:不等式选讲.

设函数

(I)不等式 的解集为 ，求a的值；

(II)若 旳定义域为R，求实数m的取值范围.

2012年高中毕业年级第三次质量预测

数学（理科）   参考答案

一、选择题      DBAAC  CBBBC  DA

二、填空题  13. ；14. -160；15. ；16.0或 .

三、解答题

17.解：（I）由题得 ，

由正弦定理 得 ，即 .………………3分

由余弦定理得 ，

结合 ,得 .………………6分

（II）由 得 ，

从而 .………………9分

所以 的面积 ，………………12分

18.解：（1）记“该参赛者恰好连对一条线”为事件A.          

则基本事件的总数为m= =24; ………………2分

事件A包含的基本事件有n= =8种，………………4分

所以，该参赛者恰好连对一条的概率 .………………6分

（2）X的所有可能取值为-8、-1、6、20.                     

所以   , 的分布列为

                                                   ………………10分

    E = ……………12分

19.解：（I）当M是线段AB₁上中点时， .……………1分

下面给与证明：

如图：以AB， 所在直线为x轴，z轴，在平面 内过A且与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系.

设 =2，则  .           ………………3分

所以.

   即 .………………5分

（II）设 ,即 ,其中 ，

.………………7分

设 是平面ABN的一个法向量，则

即 取 .………………9分

所以 .

即 的最大值为 ．………………12分

20.解：(Ⅰ) 设半焦距为c.由题意 的中垂线方程分别为 ，

于是圆心坐标为 .   ………………2分

 所以 = ，即 ,

即 ,所以 ，

于是  即 ，

所以 ,即 .   ………………5分

 （II）当 时， ，此时椭圆的方程为 ，

设 ，则 ，

所以 .………………8分

当 时，上式的最小值为 ，即 = ，得 ；………………10分

当 时，上式的最小值为 ，即 = ，

解得 不合题意，舍去.

  综上所述， 椭圆的方程为 .………………12分

21.解（I）当 时， .………………1分

因为函数f(x)在 处存在极值，所以

解得 .………………3分

(II) 由（I）得

根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设 .

若 ，则 ，

由 是直角得， ，即 ，

即 .此时无解；………………5分

    若 ，则 . 由于AB的中点在 轴上，且 是直角，所以B点不可能在 轴上，即 . 同理有 ，即 =0， .

因为函数 在 上的值域是 ，

   所以实数 的取值范围是 .………………7分

（III）由方程 ，知 ，可知0一定是方程的根，………………8分

所以仅就 时进行研究：方程等价于

构造函数

       对于 部分，函数 的图像是开口向下的抛物线的一部分，

当 时取得最大值 ，其值域是 ；

       对于 部分，函数 ，由 ，知函数 在 上单调递增.

所以，①当 或 时，方程 有两个实根；

②当 时，方程 有三个实根；

          ③当 时，方程 有四个实根. ………………12分

22.证明：（I）在 中，由 知：

即 .

所以四点 共圆；………………5分

（II）如图，连结 .

在 中， , ,

由正弦定理知 .………………8分

由四点 共圆知， ,

所以 ………………10分

23.解（I）由 得 .

即 .………………2分

由 得， 即 .

所以圆C的直角坐标方程为 .………………5分

（II）直线的参数方程 可化为 ，

由圆的半径为 知，圆心（2，-2）到直线 的距离为恰好为 .………………8分

所以 ，解得 .………………10分

24.解：（I）由 ≤ 得， ，………………2分

因为不等式 ≤ 的解集为 ，所以 解得a=1; ………………5分

（II）由 的定义域为 知；

对任意实数x，有 恒成立. ………………7分

因为 ，

所以 ,即实数 的取值范围为 .………………10分