苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二）

2012.5

数学I（正题）

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在相应位置上。

1.设集合 ， ，则          .

2.若复数 满足 （ 为虚数单位），则         .

3.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的值为       .

4.已知某人连续 次投掷飞镖的环数分别是 ， ， ， ， ，则该组数据的方差        .

5.如图，边长为 的正方形内有一个半径为 的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为       .

6.已知 张卡片（大小，形状都相同）上分别写有 ， ， ， ，从中任取 张，则这 张卡片中最小号码是 的概率为       .

7.等比数列 中，若 ， ，则 的值为        .

8.已知钝角 满足 ，则 的值为         .

9.已知函数 则 的值为         .

10.已知点 在 所在平面内，若 ，则 与 的面积的比值为         .

11.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列命题：

（1）若 ， ， ，则 ；

（2）若 ， ， ，则 ；

（3）若 ， ， ，则 ；

（4）若 ， ， ，则 .

上面命题中，所有真命题的序号为         .

12.在平面直角坐标系 中，已知点 在曲线 上，点 在 轴上的射影为 .若点 在直线 的下方，当 取得最小值时，点 的坐标为           .

13.已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 .设线段 的中点为 ，若 ，则该椭圆离心率的取值范围为           .

14.设实数 ，若不等式 对任意 都成立，则 的最小值为          .

二．解答题：本大题共六小题，共计90分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.如图，在四边形 中，已知 ， ， ， ，

（1）求 的值；

（2）求 的值；

（3）求 的面积.

16.如图，在三棱锥 中，平面 分别与 ， ， ， 交于点 ， ， ， ，且 平面 ， ，

求证：（1） 平面 ；

     （2） ；

     （3） 平面 .

17.如图，已知矩形油画的长为 ，宽为 .在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为 ，上下两边金箔的宽为 ，壁画的总面积为

（1）用 ， ， ， 表示 ；

（2）若 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的 ， 的值.

18.在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 与圆 相交，圆心为 ，且圆 上的点与圆 上的点之间的最大距离为

（1）求圆 的标准方程；

（2）过定点 作动直线 与圆 ，圆 都相交，且直线 被圆 ，圆 截得的弦长分别为 ， .若 与 的比值总等于同一常数 ，求点 的坐标及 的值.

19.已知 为正实数，函数 （ 为自然对数的底数）.

（1）若 ，求 的取值范围；

（2）当 时，解不等式 ；

（3）求函数 的单调区间.

20.已知数列 的前三项分别为 ， ， ，且数列 的前 项和 满足 ，其中 ， 为任意正整数.

（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；

（2）求