15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，

且，则       .

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为  ( t为参数) ，l与C相交于AB两点，则       .

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分11分）

某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象

时，列表并填入了部分数据，如下表：

   （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解

         析式；

（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图

象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.

18．（本小题满分12分）

设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马中，侧棱底面，

且，过棱的中点，作交于

点，连接 

（Ⅰ）证明：．试判断四面体是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，

      求的值．

20．（本小题满分12分）

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．

（Ⅰ）求的分布列和均值；

（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

21．（本小题满分14分）

一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线

总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若

存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；

（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：.

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）试题参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．A   2．B   3．D   4．C   5．A   6．B   7．B   8．D   9．C   10．B

二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）

11．9                     12．2                13．

14．（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③    15．                 16．

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

17．（11分）

（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：

且函数表达式为.                            

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得.

         因为的对称中心为，.

         令，解得， .

     由于函数的图象关于点成中心对称，令，

     解得，. 由可知，当时，取得最小值.         

18．（12分）

（Ⅰ）由题意有， 即

解得 或 故或

（Ⅱ）由，知，，故，于是

，          ①

.         ②

①-②可得

，

故.                                               

19．（12分）

（解法1）

（Ⅰ）因为底面，所以，

    由底面为长方形，有，而，

所以. 而，所以.

又因为，点是的中点，所以.

而，所以平面. 而，所以.

又，，所以平面.

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.                             

（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面 

的交线. 由（Ⅰ）知，，所以.

又因为底面，所以. 而，所以.

故是面与面所成二面角的平面角，

设，，有，

在Rt△PDB中, 由, 得,

则 , 解得.

所以 

故当面与面所成二面角的大小为时，.

（解法2）

（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，，则，，点是的中点，所以，，

于是，即.

又已知，而，所以.

因, , 则, 所以.

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.                                             

（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；

由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量.

若面与面所成二面角的大小为，

则，

解得. 所以 

故当面与面所成二面角的大小为时，.              

20．（12分）

（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有

                      （1）

目标函数为  ．        &n