一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 

    (A)        (B) [1,2]           (C) [－2,2]        (D) [－2,1]

(2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为

    (A) －7           (B) －4

    (C) 1             (D) 2

(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为

    (A) 64            (B) 73

    (C) 512           (D) 585

(4) 已知下列三个命题:

①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;

②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;

③直线x + y + 1 = 0与圆相切.

其中真命题的序号是:

    (A) ①②③        (B) ①②

    (C) ②③          (D) ②③

(5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p =

    (A) 1             (B)               (C) 2              (D) 3

(6) 在△ABC中, 则 =

    (A)          (B)             (C)           (D)

(7) 函数的零点个数为

    (A) 1             (B) 2               (C) 3              (D) 4

(8) 已知函数. 设关于x的不等式 的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是

    (A)                         (B)

    (C)              (D)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

理 科 数 学

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 

2. 本卷共12小题, 共110分.

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.

(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi =       .

(10)  的二项展开式中的常数项为      .

(11) 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| =       .

(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为      .

(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为      .

(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a =       时, 取得最小值.

三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

(15) (本小题满分13分)

已知函数.

(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值. 

(16) (本小题满分13分)

一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).

(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.

(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.

(17) (本小题满分13分)

如图, 四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中, 侧棱A₁A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA₁ = AB = 2, E为棱AA₁的中点.

(Ⅰ) 证明B₁C₁⊥CE;

(Ⅱ) 求二面角B₁－CE－C₁的正弦值.

(Ⅲ) 设点M在线段C₁E上, 且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为, 求线段AM的长.

(18) (本小题满分13分)

设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.

(19) (本小题满分14分)

已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S₃ + a₃, S₅ + a₅, S₄ + a₄成等差数列. 

(Ⅰ) 求数列的通项公式;

(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值.

(20) (本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使.

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有

.