1、计算题 (12分)如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,即F=-kx,其中k是由系统本身特性决定的线性回复力常数,那么质点的运动就是简谐运动。
(1)图1所示为一理想单摆,摆球的质量为m,摆长为L。重力加速度为g。请通过计算说明该单摆做简谐运动的线性回复力常数k=?
(2)单摆做简谐运动的过程中,由于偏角很小,因此可以认为摆球沿水平直线运动。
如图2所示,质量为m的摆球在回复力F=-kx作用下沿水平的x轴做简谐运动,若振幅为A,在平衡位置O点的速度为vm,试证明:。
(3)如图3所示,两个相同的理想单摆均悬挂在P点。将B球向左拉开很小的一段距离由静止释放,B球沿水平的x轴运动,在平衡位置O点与静止的C球发生对心碰撞,碰撞后B、C粘在一起向右运动。已知摆球的质量为m,摆长为L。释放B球时的位置到O点的距离为d。重力加速度为g。求B、C碰撞后它们沿x轴正方向运动的最大距离。
参考答案:(1)(2)见解析(3)
本题解析:(1)如答图3所示,以平衡位置O点为坐标原点,沿水平方向建立x轴。
设当偏角为θ时,位移为x。
重力垂直绳方向的分力提供回复力
当θ很小时
可得
所以
(2)单摆做简谐运动的过程中,只有线性回复力做功。
摆球从最大位移处运动到平衡位置的过程中,由动能定理
其中
所以
(3)B球向O点运动的过程中
B、C碰撞过程中动量守恒
B、C从O点向右运动的过程中
其中
可得
考点:动能定理,动量守恒定律
本题难度:困难
2、简答题 长度1m的轻绳下端挂着一质量为9.99kg的沙袋,一颗质量为10g的子弹以500m/s的速度水平射入沙袋(未穿出),求在子弹射入沙袋后的瞬间,悬绳的拉力是多大?(设子弹与沙袋的接触时间很短,g取10m/s2)
参考答案:子弹射入沙袋的过程,对它们组成的系统,遵守动量守恒定律,取子弹射入前的速度方向为正方向,则得:
mv0=(M+m)v
解得:v=mv0M+m=0.01×5009.99+0.01m/s=0.5m/s
子弹射入沙袋后的瞬间,由重力和绳子的拉力的合力提供向心力,则由牛顿第二定律得:
F-(M+m)g=(M+m)v2l,
解得:F=(M+m)g+(M+m)v2l=(9.99+0.01)×10N+(9.99+0.01)0.521N=102.5N
答:在子弹射入沙袋后的瞬间,悬绳的拉力是102.5N.
本题解析:
本题难度:一般
3、填空题 一个质量为50kg的人站立在静止于平静的水面上的质量为400kg船上,突然船上人对地以2m/s的水平速度跳向岸,不计水的阻力,则船以_____? ___m/s的速度后退,若该人向上跳起,以人船为系统,人船系统的动量_______ __。(填守恒或不守恒)
参考答案:0.25?不守恒
本题解析:人跳离船时人船水平方向动量守恒,?若该人向上跳起,以人船为系统,竖直方向受重力作用,合外力不为零,动量不守恒
本题难度:简单
4、选择题 质量为M的小车在光滑水平面上以速度v向东行驶,一个质量为m的小球从距地面H高处自由落下,正好落入车中.此后小车的速度将(?)
A.增大
B.减小
C.不变
D.先减小后增大
参考答案:B
本题解析:系统水平方向动量守恒,小球落入车中后,小车质量增大,而动量不变,所以速度将减小.
本题难度:简单
5、选择题 A、B两球之间压缩一根轻弹簧,静置于光滑水平桌面上.已知A、B两球质量分别为2 m和m.当用板挡住A球而只释放B球时,B球被弹出落于距桌面水平距离为s的水平地面上,如图,问当用同样的程度压缩弹簧,取走A左边的挡板,将A、B同时释放,B球的落地点距桌面距离为( )
A. B.s C.s D.s
参考答案:D
本题解析:考点:动量守恒定律;平抛运动;机械能守恒定律.
专题:动量与动能定理或能的转化与守恒定律综合.
分析:A、B两球之间压缩一根轻弹簧,当用板挡住A球而只释放B球时,弹性势能完全转化为B球的动能,以一定的初速度抛出,借助于抛出水平位移可确定弹簧的弹性势能.当用同样的程度压缩弹簧,取走A左边的挡板,将A、B同时释放,由动量守恒定律与机械能守恒定律可求出B球获得的速度,再由平抛运动规律可算出抛出的水平位移.
解答:解:当用板挡住A球而只释放B球时,B球做平抛运动.设高度为h,则有vB=s,所以弹性势能为E==当用同样的程度压缩弹簧,取走A左边的挡板,将A、B同时释放,由动量守恒定律可得:0=2mvA-mvB 所以vA:vB=1:2.因此A球与B球获得的动能之比EkA:EkB=1:2.所以B球的获得动能为:.
那么B球抛出初速度为vB=,则平抛后落地水平位移为=s
故选:D
点评:考查动量守恒定律、机械能守恒定律,及平抛运动规律.两种情况下,弹性势能完全相同.在弹簧恢复过程中弹性势能转化为动能.
本题难度:困难