二、多人的工程问题

　　　例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

解：设这件工作的工作量是1.

　　甲、乙、丙三人合作每天完成

　　减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

　　答：甲一人独做需要90天完成.

　　例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？

　　例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

　　解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

　　说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了

　　2+6+12=20（天）.

　　答：完成这项工作用了20天.

　　本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

　　例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

　　解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

　　他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

　　答：甲独做需要26天.

　　事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.

　　例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？

　　解一：设这项工作的工作量是1.

　　甲组每人每天能完成

　　乙组每人每天能完成

　　甲组2人和乙组7人每天能完成

　　答：合作3天能完成这项工作.

　　解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.

　　现在已不需顾及人数，问题转化为：

　　甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？

　　例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？

　　解一：仍设总工作量为1.

　　甲每天比乙多完成

　　因此这批零件的总数是

　　丙车间制作的零件数目是

　　答：丙车间制作了4200个零件.

　　解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.

　　乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

　　乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

　　已知

　　甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.

　　综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

　　12∶8∶7.

　　当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是

　　2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.

　　例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

　　答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

　　解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.

　　三人共同搬完，需要

　　60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.

　　甲需丙帮助搬运

　　（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.

　　乙需丙帮助搬运

　　（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.

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