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三、(本题满分6分)
设 是由方程 和 所确定的函数,其中 和 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求
四、(本题满分5分)
求 其中 为正的常数, 为从点 沿曲线 到点 的弧.
五、(本题满分6分)
设函数 二阶可导且 过曲线 上任意一点 作该曲线的切线及 轴的垂线,上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 ,区间 上以 为曲线的曲边梯形面积记为 ,并设 恒为1,求曲线 的方程.
六、(本题满分7分)
论证:当 时,
七、(本题满分6分)
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为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?
(说明:①1N 1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)
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八、(本题满分7分)
设 为椭球面 的上半部分,点 为 在点 处的切平面, 为点 到平面 的距离,求
九、(本题满分7分)
设
(1)求 的值.
(2)试证:对任意的常数 级数 收敛.
十、(本题满分8分)
设矩阵 其行列式 又 的伴随矩阵 有一个特征值 ,属于 的一个特征向量为 求 和 的值.
十一、(本题满分6分)
设 为 阶实对称矩阵且正定, 为 实矩阵, 为 的转置矩阵,试证 为正定矩阵的充分必要条件是 的秩
十二、(本题满分8分)
设随机变量 与 相互独立,下表列出了二维随机变量 联合分布率及关于 和关于 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.
十三、(本题满分6分)
设 的概率密度为 , 是取自总体 的简单随机样本
(1)求 的矩估计量 .
(2)求 的方差
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