22．（本题满分11分）

设，E为三阶单位矩阵．

（1）       求方程组的一个基础解系；

（2）       求满足的所有矩阵．

【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

，

得到方程组同解方程组

得到的一个基础解系．

（2）显然B矩阵是一个矩阵，设

对矩阵进行进行初等行变换如下：

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

，，，

即满足的所有矩阵为

其中为任意常数．

23．（本题满分11分）

证明阶矩阵与相似．

【详解】证明：设 ，．

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

，

所以A的个特征值为；

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；

所以B的个特征值也为；

对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且

从而可知阶矩阵与相似．