2014年考研数学二真题

一、选择题  1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（  ）

（A）      （B）    （C）     （D）

2．下列曲线有渐近线的是

（A）    （B）（C）   （D）

3．设函数具有二阶导数，，则在上（  ）

（A）当时，  （B）当时，

（C）当时，  （D）当时，

4．曲线 上对应于的点处的曲率半径是（    ）

（Ａ）（Ｂ）　　(Ｃ）　（Ｄ）

5．设函数，若，则（    ）

（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　

6．设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（      ）．

   （A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

   （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

   （C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

   （D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

7．行列式等于

（A）      （B）　　（C）  （D）

8．设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的

（A）必要而非充分条件             （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件                 （D） 非充分非必要条件

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．        ．

10．设为周期为4的可导奇函数，且，则                ．

11．设是由方程确定的函数，则             ．

12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为              ．

13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标      ．

14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是              ．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限．

16．（本题满分10分）

已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．

17．（本题满分10分）

设平面区域．计算

18．（本题满分10分）

设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．

19．（本题满分10分）

设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：

（1）；

（2）．

20．（本题满分11分）

设函数，定义函数列

，，

设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．

21．（本题满分11分）

已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．

22．（本题满分11分）

设，E为三阶单位矩阵．

（1）求方程组的一个基础解系；

（2）求满足的所有矩阵．

，

23．（本题满分11分）

证明阶矩阵与相似．

2014年考研数学二真题与解析

一、选择题  1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（  ）

（A）      （B）    （C）     （D）

【详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知

所以的可能取值范围是，应该选（B）．

2．下列曲线有渐近线的是

（A）    （B）（C）   （D）

【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线

应该选（C）

3．设函数具有二阶导数，，则在上（  ）

（A）当时，  （B）当时，

（C）当时，  （D）当时，

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然就是联接两点的直线方程．故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）

4．曲线 上对应于的点处的曲率半径是（    ）

（Ａ）（Ｂ）　　(Ｃ）　（Ｄ）

【详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径．

本题中，所以，，

对应于的点处，所以，曲率半径．

应该选（C）

5．设函数，若，则（    ）

（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　

【详解】注意（1），（2）．

由于．所以可知，，

．

6．设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（      ）．

       （A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

       （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

       （C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

       （D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

【详解】 在平面有界闭区域D上连续，所以在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．

所以应该选（A）．

7．行列式等于

（A）      （B）　　（C）  （D）

【详解】

应该选（B）．

8．设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的

（A）必要而非充分条件             （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件                 （D） 非充分非必要条件

【详解】若向量线性无关，则

（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．

而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．        ．

【详解】．

10．设为周期为4的可导奇函数，且，则                ．

【详解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．

11．设是由方程确定的函数，则             ．

【详解】设，，当时，，，，所以．

12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为              ．

【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，，，则在点处的切线方程为，即

13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标      ．

【详解】质心坐标．

14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是              ．

【详解】由配方法可知

由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限．

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

【详解】

16．（本题满分10分）

已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．

【详解】

解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：，由得，

即．

 令，得，且可知；

当时，可解得，，函数取得极大值；

当时，可解得，，函数取得极小值．

17．（本题满分10分）

设平面区域．计算

【详解】由对称性可得

18．（本题满分10分）

设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．

【详解】

设，则，

;

；

由条件，

可知

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．

对应齐次方程的通解为：

其中为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为．

故非齐次方程通解为．

将初始条件代入，可得．

所以的表达式为．

19．（本题满分10分）

设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：

（1）       ；

（2）       ．

【详解】

（1）证明：因为，所以．

即．

（2）令，

则可知，且，

因为且单调增加，

所以．从而

，  

也是在单调增加，则，即得到

．

20．（本题满分11分）

设函数，定义函数列

，，

设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．

【详解】

，，

利用数学归纳法可得

，

．

21．（本题满分11分）

已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．

【详解】

由于函数满足，所以，其中为待定的连续函数．

又因为，从而可知，

得到．

令，可得．且当时，．

曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转