【答案】 应填．

(11)曲线在点的切线方程为                .

【答案】 应填．

【详解】

(12)曲线的拐点坐标为            .

【答案】 ．

【详解】

(13)设，则            .

【答案】 ．

(14)设3阶矩阵的特征值为．若行列式，则___________.

【答案】应填．

三、解答题(15－23小题，共94分)．

(15)(本题满分9分)

求极限．

【详解1】

＝

(或，或)

．

【详解2】

＝（或）

．

(16)(本题满分10分)

设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解，求．

【详解1】由得

，积分得．

由条件，得，即，

故       ．

方程组两端同时对求导得

．

所以，

从而

．

17（本题满分9分）计算．

【详解1】 由于，故是反常积分．

令，有，．

．

【详解2】

令，有，．

，

所以．

(18)(本题满分11分)

计算，其中．

【详解】将区域分成如图所示得两个子区域和．于是

．

(19)(本题满分11分)

设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式．

【详解】根据题意，因为

旋转体体积，侧面积．

所以      ．

上式两边同时对求导得

．

解得   ，．

由，得．

所以      或 ．

(20)(本题满分11分)

(I)                 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；

(II)              若函数具有二阶导数，且满足，，则至少存在一点，使得．

【证法1】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值．即

，

于是有

．

即

根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得

因此而的证．

（II）存在，使得．

由，知．

由，利用微分中值定理，存在，使得

．

由，利用微分中值定理，存在，使得

．

存在存在，使得

．

（21）(本题满分11分)

求函数在约束条件和下的最大值和最小值．

【详解1】作拉格朗日函数

．

令

解之得故所求得最大值为72,最小值为6．

【详解2】由题意知，在条件下的最值．

令

解之得故所求得最大值为72,最小值为6．

(22) (本题满分12分)．

设元线性方程组，其中

            ，，．

（I）证明行列式；

（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求．

（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．

【详解】（I）【证法1】数学归纳法．记

以下用数学归纳法证明．

当时，，结论成立．

当时，，结论成立．

假设结论对小于的情况成立．将按第一行展开得

故    ．

【注】本题（1）也可用递推法．由得，．于是

（I）【证法2】消元法．记

．

（II）【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为

所以，．

（III）【详解】 当时，方程组为

此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为

，其中为任意常数．

 (23) (本题满分10分)

设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，

(I)证明线性无关；

(II)令，求．

【详解】(I)【证明】设有一组数，使得 ．

用左乘上式，得．

因为     , ，，

所以    ，

即．

由于是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此

，从而有．

故   线性无关．

（II）由题意，．而由（I）知，线性无关，从而可逆．故

．