微信搜索关注"91考试网"公众号,领30元,获取公务员、事业编、教师等考试资料40G!

程解的结构：设是二阶线性非齐次方程

的一个特解.是与之对应的齐次方程

的通解,则是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；

分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根,则通解为

(2) 两个相等的实数根,则通解为

(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：

如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如

的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为

,

其中与是次多项式,,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.

五、(本题满分8分)

【解析】将原式表成,则.

以考虑用高斯公式来求解,但曲面不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.

添加辅助面,法向量朝下,与围成区域,与取的外法向量.在上用高斯公式得

.

用球坐标变换求右端的三重积分得

.

注意垂直于平面与平面,将积分投影到平面上,所以左端上的曲面积分为           

  (极坐标变换)

.

因此          .

【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数

、、在上具有一阶连续偏导数,则有

或     

这里是的整个边界曲面的外侧,、、是在点处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.

2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：

其中为向量与轴正向的夹角,；为从正轴来看自轴按逆时针方向转到向量在平面上投影线段的角,；为向量的模长,.

球面坐标系中的体积元素为则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：

六、(本题满分7分)

【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.

不妨设,要证的不等式是.

在上用中值定理,有；

在上用中值定理,又有

由所以单调减,而,有,所以

,

即.

证法二：用函数不等式来证明.要证,构造辅助函数

,

则.由单调减,.

由此,.改为即得证.

【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点,使等式

成立.

七、(本题满分8分)

【解析】(1)先求出在变力的作用下质点由原点沿直线运动到点时所作的功的表达式.点到点的线段记为,则

.

(2)计算曲线积分：的参数方程是  从到,

.

化为最值问题并求解：问题变成求在条件下的最大值与最大值点.

用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为,则有

解此方程组：对前三个方程,分别乘以得 (时)

代入第四个方程得 .

相应的 .当时相应的得 .

因为实际问题存在最大值,所以当时取最大值.

【相关知识点】拉格朗日乘子法：

要找函数在附加条件下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数

其中为参数.求其对与的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：

由这方程组解出及,这样得到的就是函数在附加条件下的可能极值点.

八、(本题满分7分)

【解析】(1) 能由线性表出.

因为已知向量组线性无关,所以线性无关,又因为线性相关,故能由线性表出.

(2) 不能由线性表出,

反证法：若能由线性表出,设 .

由(1)知, 能由线性表出,可设,那么代入上式整理得

.

即能由线性表出,从而线性相关,这与已知矛盾.

因此,不能由线性表出.

【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数,使,则称线性相关；否则,称线性无关．

九、(本题满分7分)

【解析】(1)设,即是求此方程组的解.

对增广矩阵作初等行变换,

第一行乘以分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以加到第三行上,第三行自乘,有

,

第三行乘以、分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以加到第一行上,有     增广矩阵.

解出,,,故.

(2) 由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得

,再一直这样操作下去,有.

因为,故.按特征值定义知是的特征值,且为相应的特征向量.

所以有,据(1)结论,有

,

于是  

            .

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

【解析】由条件概率和乘法公式：从,可知,

由加法公式：

,

故 .

(2)【解析】依题意,随机变量服从参数为的指数分布,故的概率密度为

根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出

.

十一、(本题满分6分)

【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：

首先,因,所以的密度函数为,

因服从上的均匀分布,故的密度函数为.

因为随机变量与相互独立,所以二维随机变量的联合概率密度为

.要求的密度函数,先求的分布函数

.

(由标准正态分布来表示一般正态分布)

求出的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,的密度函数为

其中是标准正态分布的概率分布密度.由于是偶函数,故有

于是   .

最终用标准正态分布函数表示出来的概率分布密度.

方法二：用卷积公式直接计算：

直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求更为简单.

因为随机变量与相互独立,由卷积公式

.

最终用标准正态分布函数表示出来的概率分布密度.