1991年考研数学一真题及答案详解

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)

(1) 设 则=__________.

(2) 由方程所确定的函数在点处的全微分=__________.

(3) 已知两条直线的方程是；,则过且平行于的平面方程是__________.

(4) 已知当时,与是等价无穷小,则常数=__________.

(5) 设4阶方阵,则的逆阵=__________.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)

(1) 曲线                                                       (   )

(A) 没有渐近线                         (B) 仅有水平渐近线

(C) 仅有铅直渐近线                     (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线

(2) 若连续函数满足关系式,则等于         (   )

    (A)                              (B)     

(C)                            (D)  

(3) 已知级数,,则级数等于                  (   )

    (A) 3              (B) 7               (C) 8              (D) 9

(4) 设是平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,是在第一象限的部分,则等于                                (   )

    (A)                   (B)   

(C)             (D) 0 

(5) 设阶方阵、、满足关系式,其中是阶单位阵,则必有     (   )

    (A)                           (B)  

(C)                           (D)

三、(本题满分15分,每小题5分.)

(1) 求.

(2) 设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数

在点处沿方向的方向导数.

(3) ,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体.

四、(本题满分6分)

在过点和的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从到的积分的值最小.

五、(本题满分8分.)

将函数展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数

的和.

六、(本题满分7分.)

设函数在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且,证明在(0,1)内存在一点,使.

七、(本题满分8分.)

已知,,,,及

.

(1) 、为何值时,不能表示成的线性组合？

(2) 、为何值时,有的唯一的线性表示式？并写出该表示式.

八、(本题满分6分)

设为阶正定阵,是阶单位阵,证明的行列式大于1.

九、(本题满分8分)

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与轴平行.

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

(1) 若随机变量服从均值为2,方差为的正态分布,且,则

=_______.

(2) 随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_______.

十一、(本题满分6分)

设二维随机变量的概率密度为

,

求随机变量的分布函数.

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)

(1)【答案】

【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即

如果    , 则    .

所以    ,

再对求导,由复合函数求导法则得

.

(2)【答案】

【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点的含义是.

将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得

,

再由全微分四则运算法则得

,

令,得,即.

(3)【答案】

【解析】所求平面过直线,因而过上的点；

因为过平行于,于是平行于和的方向向量,即平行于向量和向量,且两向量不共线,于是平面的方程

,

即.

(4)【答案】

【解析】因为当时,,

当时,所以有

所以    .

因为当时,与是等价无穷小,所以,故.

(5)【答案】.

【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.

注意：         ,.

对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：,则求的伴随矩阵

.

如果,这样

.

再利用分块矩阵求逆的法则：,易见

.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】(D)

【解析】由于函数的定义域为,所以函数的间断点为,

,所以为铅直渐近线,

,所以为水平渐近线.

所以选(D).

【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：当,则为函数的水平渐近线.

(2)【答案】(B)

【解析】令,则,所以

,

两边对求导,得,这是一个变量可分离的微分方程,即.解之得,其中是常数.

又因为,代入,得,得

,即.

(3)【答案】(C)

【解析】因为

                (收敛级数的结合律与线性性质),

所以 .

而  

          ,

故应选(C).

(4)【答案】(A)

【解析】如图,将区域分为四个子区域.

显然,关于轴对称,关于轴对称.

令      ,

由于对及对都是奇函数,所以

        .

而对是偶函数,对是奇函数,故有

,

所以     ,

故选(A).

(5)【答案】(D)

【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.

由于、、均为阶矩阵,且,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式

,得到、、,知、、均可逆,那么,对于,先左乘再右乘有  ,故应选(D).

其实,对于先右乘再左乘,有.

三、(本题满分15分,每小题5分.)

(1)【解析】这是型未定式求极