即            ,

化简得       , 即      ,

解之得       , 所以    .

由得,因此 ,故应选(B).

【相关知识点】曲线积分在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是

.

(5)【答案】(C)

【解析】若是矩阵,是矩阵,,则.

当时,矩阵的三行元素对应成比例,,有,知,

所以,可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；

当时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,,于是从得,又因,有 ,从而必成立,所以应当选(C).

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)

(1)【解析】令,则当时,,

,

这是型未定式,

,

而是两个重要极限之一,即

.

所以        .

而          ,

故          .

(2)【解析】方法一：.

令,则   ,

所以   

                  ,

所以   

                   .

方法二：令,则    ,

所以   

                  .

关于的求解同方法一,所以

                   .

(3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以得

,即.

令,则方程化为,即,

即      ,

积分得  .

由得,

即      ,

代入初始条件,得  ,所以所求方程的特解是.

解法二：所给方程可写成 的形式,此方程为齐次方程.

令,则,所以方程可化为

,分离变量得   ,

积分得  ,  即.

以代入上式,得.代入初始条件,得,

故特解为.

四、(本题满分6分)

【解析】将表成,则

.

又是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.

记围成区域,见草图,取外侧,由高斯公式得

.

用球坐标变换求这个三重积分.

在球坐标变换下,为：,于是

.

五、(本题满分7分)

【解析】先将级数分解,

.

第二个级数是几何级数,它的和已知

.

求第一个级数的和转化为幂级数求和.考察

.

,

所以       .

因此原级数的和  .

六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)

(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在存在一点,使得

,

即  .

因为,所以当时,,故.

由,所以在上由介值定理可知,必有一点使得.

又因为,故为严格单调增函数,故值唯一.

证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于

,

以下同方法1.

(2)【解析】先将不等式做恒等变形:

因为,故原不等式等价于或.

证法一：令,则  .

因为,所以,故.

从而在时为严格的单调递增函数,故  .

由此  ,即   .

证法二：令,则  .

当时,,所以为严格的单调递减函数,故存在使得

成立.即.

七、(本题满分8分)

【解析】写出二次型的矩阵为,它的特征方程是

.

经正交变换化成标准形,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是的特征值.

把代入特性方程,得.

因知.这时 .

对于,由, ,得 .

对于,由,,得.

对于,由,,得.

将单位化,得

.

故所用的正交变换矩阵为

.

【相关知识点】二次型的定义：含有个变量的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)

 其中,

称为元二次型.令,,则二次型可用矩阵乘法表示为

其中是对称矩阵,称为二次型的矩阵.

八、(本题满分6分)

【解析】证法一：对按列分块,记,若

,

即        ,  亦即     .

两边左乘,得 ,即  ,亦即 .

所以线性无关.

证法二：因为是矩阵,,所以.

又因,故.所以线性无关.

【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数,使,则称线性相关；否则,称线性无关．

2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩

九、(本题满分6分)

【解析】如图,设当运动到时,运动到.

由的方向始终指向,有,即

                             (1)

又由,,得

.

由题意,单调增,,所以    .亦即

                    .                  (2)

由(1),(2)消去,,便得微分方程       .

初始条件显然是.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)

(1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.

方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.

设事件“第次抽出次品”由已知得

.应用全概率公式

.

方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.

    由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是.

(2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.

由已知条件,在区间上服从均匀分布,得的概率密度函数为

.

先求的分布函数.

当时,；当时,；当时,

                   .

即     

于是,对分布函数求导得密度函数

.

故随机变量在内的概率分布密度.

方法二：也可以应用单调函数公式法.

由于在(0,4)内单调,反函数在(0,2)内可导,且导数

恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量的概率密度为

故随机变量在内的概率分布密度.

十一、(本题满分6分)

【解析】(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差.

.

(因为被积函数是奇函数,积分区域关于轴对称,所以积分值为0.)

(2) 根据协方差的计算公式来计算协方差.

因为,所以

(因为被积函数是奇函数,积分区域关于轴对称,所以积分值为0.)

所以与不相关.

(3) 方法一：

对于任意正实数,事件含于事件,且

,

所以    ,,

可见    ,

因此与不独立.

方法二：因为；

又，显然有

，因此与不独立.