因而 ,应选(D).

(2)【答案】(D)

【解析】在点连续不能保证在点存在偏导数

.反之,在点存在这两个偏导数也不能保证在点连续,因此应选(D).

二元函数在点处两个偏导数存在和在点处连续并没有相关性.

(3)【答案】(C)

【解析】考查取绝对值后的级数.因

,

(第一个不等式是由得到的.)

又收敛,收敛,(此为级数：当时收敛；当时发散.)

所以收敛,由比较判别法,得收敛.

故原级数绝对收敛,因此选(C).

(4)【答案】(D)

【解析】因为   ,

故     ,

,

因此,原式左边原式右边,.

当时,极限为0；

当时,极限为,均与题设矛盾,应选(D).

【相关知识点】1.无穷小的比较：

设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限 

（1）   若称在该极限过程中为同阶无穷小；

（2）   若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；

（3）   若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为

.

若不存在(不为),称不可比较.

2. 无穷小量的性质：当时,为无穷小,则

.

(5)【答案】(C)

【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.

(A)：由于,所以(A)线性相关.

(B)：由于,所以(B)线性相关.

对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由的系数构成的行列式,即

,

由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C).

    当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由

,

知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).

【相关知识点】线性相关的充分必要条件是存在某可以由

线性表出.

线性无关的充分必要条件是任意一个均不能由

线性表出.

三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)

(1)【解析】

同理       ,

代入参数值  ,

则          , .

【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为

   或    .

2.对积分上限的函数的求导公式：若,,均一阶可导,则

.

(2)【解析】.

先求的展开式.将微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由

该级数在端点处的收敛性,视而定.特别地,当时,有

得  

,

积分,由牛顿-莱布尼茨公式得 

.

(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得

(    )

,

其中为任意常数.

方法2：换元后,有

原式.

用待定系数法将被积函数分解:

,

.

于是,

.

四、(本题满分6分)

【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.

这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若垂直平面,则

.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.

    先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.

方法1：注意  ,(因为关于平面对称,被积函数关于轴对称)

所以  .

由上下底圆及圆柱面组成.分别记为.   与平面垂直

.

在上将代入被积表达式.

在平面上投影区域为,在上,,关于平面对称,被积函数对为奇函数,可以推出

.

方法2：是封闭曲面,它围成的区域记为,记 .

再用高斯公式得

                    (先一后二的求三重积分方法)

其中是圆域：.

【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数

、、在上具有一阶连续偏导数,则有

或     

这里是的整个边界曲面的外侧,、、是在点处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.

五、(本题满分9分)

【解析】由全微分方程的条件,有

,

即     ,亦即 .

因而是初值问题  的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为的根为,原方程右端中的,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 .

代入方程可求得  ,则特解为.

由题给,解得 .

的解析式代入原方程,则有

.

先用凑微分法求左端微分式的原函数：

,

.
其通解为        其中为任意常数.

【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程

的一个特解.是与之对应的齐次方程

的通解,则是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；

分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根,则通解为

(2) 两个相等的实数根,则通解为

(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：

如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如

的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为

,

其中与是次多项式,,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.

六、(本题满分8分)

【解析】表明时是比高阶的无穷小,若能进一步确定是的阶或高于阶的无穷小,从而也是的阶或高于阶的无穷小,这就证明了级数绝对收敛.

方法一：由及的连续性得知,再由在点的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有 

.

由函数极限与数列极限的关系 .

因收敛收敛,即 绝对收敛.

方法二：由得知,可用泰勒公式来实现估计.在点有泰勒公式：

因在点的某一领域内具有二阶连续导数,

在有界,即,有

.

对此,时,.

又收敛收敛,即 绝对收敛.

【相关知识点】正项级数的比较判别法：

设和都是正项级数,且则

⑴  当时,和同时收敛或同时发散；

⑵  当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散；

⑶  当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散.

七、(本题满分6分)

【解析】方法1：用定积分.

设高度为处的截面的面积为,则所求体积.

所在的直线的方向向量为,且过点,

所以所在的直线方程为  或 .

截面是个圆形,其半径的平方 ,则面积

,

由此   .

方法2：用三重积分.

,

或者              

.

八、(本题满分8分)

【解析】(1)由已知,的系数矩阵,.

由于所以解空间的维数是2.

取为自由变量,分别令,求出的解.

故的基础解系可取为 .

(2)方程组和 有非零公共解.

将的通解 代入方程组,则有

.

那么当时,向量是与的非零公共解.

九、(本题满分6分)

【解析】证法一：由于 ,根据的定义有

,其中是行列式中的代数余子式.

由于,不妨设,那么

,

故 .

证法二：(反证法)若,则.

设的行向量为,则    .

于是    .

进而有,这与是非零矩阵相矛盾.故.

十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)

(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有

.

因题目已知 ,故有

,.

(2)【解析】由于、相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量

只取0与1两个可能的值,且

,

.

所以随机变量的分布律为：

十一、(本题满分6分)

【解析】此题的第一小问是求数学期望和方差,是个常规问题；(2)求相关系数,关键是计算与的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.

(1) 由,,知

.

由数学期望和方差的性质：

,

,

其中为常数.

得      

(2) 因为

所以     .

(3) 由于服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而,,故和都是其线性组合,则服从二维正态分布,根据

,所以与是相互独立的.