.

(5)【答案】

【解析】因为,所以矩阵可逆,故.

【相关知识点】.若可逆,则

.

从而,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)【答案】(D)

【解析】由于存在函数,使得 ,

由可微与可偏导的关系,知

,,

分别对求偏导数,得

,

.

由于与连续,所以,即

,

故应选(D).

(2)【答案】(B)

【解析】因为有二阶连续导数,且所以由函数极限的局部保号性可知,在的空心领域内有,即,所以为单调递增.

又由,在由负变正,由极值的第一充分条件,是的极小值点,即是的极小值.应选(B).

【相关知识点】极限的局部保号性：设若(或)当

时,(或).

(3)【答案】(A)

【解析】若正项级数收敛,则也收敛,且当时,有

.

用比较判别法的极限形式,有

.

因为收敛,所以也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).

【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：

设和都是正项级数,且则

(1) 当时,和同时收敛或同时发散；

(2) 当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散；

(3) 当时,若收敛,则收敛；若发散,则发散.

(4)【答案】(C)

【解析】用洛必达法则.

由题可知 ,

对该积分上限函数求导数,得

,

所以       

                     .

因为与是同阶无穷小,且,所以为常数,即时有          ,

故应选(C).

【相关知识点】设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限  ,

(1) 若称在该极限过程中为同阶无穷小；

(2) 若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；

(3) 若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.

若不存在(不为),称不可比较.

(5)【答案】(D)

【解析】可直接展开计算,

,

所以选(D).

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)

(1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得

.

由于以为周期,因而的范围是.

又由于,心形线关于极轴对称.由对称性,

.

(2)【解析】用单调有界准则.

由题设显然有,数列有下界.

证明单调减：用归纳法.；设,则

.

由此,单调减.由单调有界准则,存在.

设,在恒等式两边取极限,即

,

解之得(舍去).

【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限.

2. 收敛数列的保号性推论：如果数列从某项起有(或),且,那么(或).

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)

(1)【分析一】见下图所示,在平面与平面上的投影均易求出,分别为

；

,或.

图1

求,自然投影到平面上.求时,若投影到平面上,被积函数较简单且可利用对称性.

【分析二】令,则.

这里,,若用高斯公式求曲面积分,则较简单.因不是封闭曲面,故要添加辅助曲面.

【解析】方法一：均投影到平面上,则

,

其中,.

把代入,得

,

由对称性得

,,

所以        .

利用极坐标变换有

.

方法二：分别投影到平面与平面.

投影到平面时要分为前半部分与后半部分

(见图1),则

.

由题设,对法向量与轴成钝角,而对法向量与轴成锐角.将化成二重积分得

或         

(这里是半径为的圆面积的一半.)

(同方法一).

因此,       

方法三：添加辅助面,法方向朝下,则

,

其中是在平面的投影区域：.

与即与围成区域,与的法向量指向内部,所以在上满足高斯公式的条件,所以

,

其中,是圆域：,面积为.

因此,.

(2)【解析】由多元复合函数求导法则,得

,

,

所以       

                ,

,

代入,并整理得

.

于是,令得或.

时,,故舍去,时,,因此仅当时化简为.

【相关知识点】多元复合函数求导法则：若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且

.

五、(本题满分7分)

【解析】先将级数分解,

令          ,

则          .

由熟知幂级数展开式,即,得

,

因此,       .

六、(本题满分7分)

【解析】曲线上点处的切线方程为

.

令得轴上的截距.由题意,

.

为消去积分,两边乘以,得 ,                         (*)

将恒等式两边对求导,得

,

即          .

在(*)式中令得自然成立.故不必再加附加条件.就是说是微分方程

的通解.下面求解微分方程.

方法一：,

因为,所以,

两边积分得  .

方法二：令,则,解得.

再积分得.

七、(本题满分8分)

【解析】由于问题涉及到与的关系,自然应当利用泰勒公式,而且应在点展开：

,在与之间.

分别取得

,在与之间,

            ,在与之间,

两式相减得  ,

于是        .

由此       

                  .

八、(本题满分6分)

【解析】(1)因为,为数,为阶矩阵,所以

,

因此,      

因为是非零列向量,所以,故即.

(2)反证法.当时,由(1)知,若可逆,则.

与已知矛盾,故是不可逆矩阵.

九、(本题满分8分)

【解析】(1)此二次型对应的矩阵为

.

因为二次型秩 ,由

可得.再由的特征多项式

求得二次型矩阵的特征值为.

(2)因为二次型经正交变换可化为,故

,即.

表示椭圆柱面.

【相关知识点】主轴定理：对于任一个元二次型

,

存在正交变换(为阶正交矩阵),使得

,

其中是实对称矩阵的个特征值,的个列向量是对应于特征值的标准正交特征向量.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)

(1)【答案】

【解析】设事件“抽取的产品是次品”,事件“抽取的产品是工厂生产的”,则事件表示“抽取的产品是工厂生产的”,依题意有

.

应用贝叶斯公式可以求得条件概率：

.

【相关知识点】贝叶斯公式：设试验的样本空间为.为的事件,为的一个划分,且,则

                       (*)

(*)式称为贝叶斯公式.

(2)【答案】

【解析】由于与相互独立且均服从正态分布,因此它们的线性函数服从正态分布,且

,

所以有      .

代入正态分布的概率密度公式,有

.

应用随机变量函数的期望公式有

由凑微分法,有

.

【相关知识点】对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布.

若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有

,

,

其中为常数.

十一、(本题满分6分.)

【解析】易见的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意

,故,即

,

.

类似地可以计算出所有的值列于下表中,得到随机变量的联合分布律：

(2)将表中各行元素相加求出的边缘分布

,

由离散型随机变量数学期望计算公式可得

.

【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式：

二维离散型随机变量关于与的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为：

它们分别为联合分布律表格中第行与第列诸元素之和.

2. 离散型随机变量数学期望计算公式：.