1996考研数学一真题及答案解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1) 设,则___________.

(2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面垂直,则此平面方程为

 ___________.

(3) 微分方程的通解为___________.

(4) 函数在点处沿点指向点方向的方向导数为___________.

(5) 设是矩阵,且的秩,而,则___________.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 已知为某函数的全微分,则等于                         (   )

(A) -1            (B) 0                (C) 1            (D) 2

(2) 设有二阶连续导数,且,,则                  (   )

(A) 是的极大值                 

(B) 是的极小值 

(C) 是曲线的拐点               

 (D) 不是的极值,也不是曲线的拐点

(3) 设,且收敛,常数,则级数

 (   )

(A) 绝对收敛      (B) 条件收敛         (C) 发散         (D) 收敛性与有关

(4) 设有连续的导数,,,,且当

时,与是同阶无穷小,则等于                                   (   )

(A) 1             (B) 2                (C) 3            (D) 4 

(5) 四阶行列式的值等于                                    (   )

    (A)                   (B)   

(C)              (D)   

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)

(1) 求心形线的全长,其中是常数.

(2) 设,,试证数列极限存在,并求此极限.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)

(1) 计算曲面积分,其中为有向曲面,其法向量与轴正向的夹角为锐角.

(2) 设变换可把方程化简为,求常数,其中有二阶连续的偏导数.

五、(本题满分7分)

求级数的和.

六、(本题满分7分)

设对任意,曲线上点处的切线在轴上的截距等于

,求的一般表达式.

七、(本题满分8分)

设在上具有二阶导数,且满足条件,,其中都是非负常数,是(0,1)内任一点,证明.

八、(本题满分6分)

设,其中是阶单位矩阵,是维非零列向量,是的转置,证明：

(1) 的充要条件是；(2) 当时,是不可逆矩阵.

九、(本题满分8分)

已知二次型的秩为2.

(1) 求参数及此二次型对应矩阵的特征值；

(2) 指出方程表示何种二次曲面.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)

(1) 设工厂和工厂的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由和的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属生产的概率是__________.

(2) 设、是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量

的数学期望__________.

十一、(本题满分6分.)

设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为,

=1,2,3,又设,.

(1) 写出二维随机变量的分布律：

(2) 求随机变量的数学期望.

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1)【答案】

【解析】这是型未定式求极限.              

方法一：    ,

令,则当时,,

则         ,

即         .

由题设有,得.

方法二：,

由题设有,得.

(2)【答案】

【解析】方法一：所求平面过原点与,其法向量；平面垂直于已知平面,它们的法向量也互相垂直：；

由此,    .

取,则所求的平面方程为.

方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点的向量,另一是平面的法向量)平行的平面,

即      ,即      .

(3)【答案】

【解析】微分方程所对应的齐次微分方程的特征方程为

,解之得.故对应齐次微分方程的解为.

由于非齐次项不是特征根,设所给非齐次方程的特解为,代入

得(也不难直接看出),故所求通解为

.

【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程

的一个特解.是与之对应的齐次方程

的通解,则是非齐次方程的通解.

② 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；

分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根,则通解为

(2) 两个相等的实数根,则通解为

(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.

③ 对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：

如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如

的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为

,

其中与是次多项式,,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.

(4)【答案】

【分析】先求方向的方向余弦和,然后按方向导数的计算公式

求出方向导数.

【解析】因为与同向,为求的方向余弦,将单位化，即得  .

将函数分别对求偏导数得

              ,

              ,

              ,

所以         

                 &nbs