【详解】分离变量，

(3)【答案】

【详解】补一个曲面,取上侧，则组成的封闭立体满足高斯公式，

设 ，则

∴(为锥面和平面所围区域)(为上述圆锥体体积)

注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积

方法1：(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)

而 (在上：)

方法2：先二重积分，后定积分.

因为，，，，，

所以 .从而

方法3：利用球面坐标. 在球坐标下为：，

方法4：利用柱面坐标 .

(4)【答案】

【详解】代入点 到平面的距离公式

(5)【答案】

【详解】由已知条件变形得，, 两边取行列式, 得

其中，，

因此，.

(6)【答案】

【详解】根据独立性原理：若事件独立，则

事件，而随机变量与均服从区间上的均匀分布，有和. 又随机变量与相互独立，所以，

二、选择题.

(7)【答案】

【详解】

方法1： 图示法.

因为则严格单调增加；因为 则是凹函数，又，画的图形

结合图形分析，就可以明显得出结论：.

方法2：用两次拉格朗日中值定理

(前两项用拉氏定理)

                      (再用一次拉氏定理)

,    其中

由于，从而. 又由于，故选

方法3：  用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：

，

其中. 此时取1代入，可得

又由，选 .

(8)【答案】

【详解】记，则区域的极坐标表示是： ，. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意  与  在第一象限的交点是)，于是     

所以，原式. 因此选

(9) 【答案】

【详解】

方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛

因为收敛，所以也收敛，所以收敛，从而也收敛.选D.

方法2：记 ，则收敛. 但，(级数，级数发散)；

(级数，级数发散)均发散。由排除法可知，应选D.

(10) 【答案】

【详解】

方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。

已知，由，在邻域，可确定隐函数，满足，。

是在条件下的一个极值点是          的极值点。它的必要条件是

若，则，或，因此不选，.

若，则(否则). 因此选

方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数，有

因为，所以，代入(1)得

若，则，选

(11)【答案】A

【详解】

方法1：若线性相关, 则由线性相关定义存在不全为的数使得       

为了得到的形式，用左乘等式两边, 得

                           ①

于是存在不全为的数使得①成立，所以线性相关.

方法：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:

1. 线性相关Û；2. .

矩阵, 设， 则由得. 所以答案应该为().

(12) 【答案】

【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出

将的第2行加到第1行得，即 

将的第1列的-1倍加到第2列得，即

因为，故.

从而  ,故选().

(13)【答案】C

【详解】本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式

根据条件概率的定义，当时，得

根据加法公式有,故选(C)

(14) 【答案】A.

【详解】由于与的分布不同，不能直接判断和的大小与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。

随机变量标准化，有，且其概率密度函数是偶函数. 所以

.

同理有，

因为是单调递增函数，当时， ，即，所以，故选(A).

三、解答题

(15)【详解】积分区域对称于轴，为的奇函数，

从而知 

所以   

(16)【详解】(I) 由于时，，于是,说明数列单调减少且. 由单调有界准则知存在.记为.

递推公式两边取极限得

(II) 原式，为“”型.

因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑

所以   

(17)【详解】用分解法转化为求的展开式，而这是已知的.

由于   

因此        .

(18)【详解】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了

同理   

代入，得    ，

所以  成立.

(II) 令于是上述方程成为，则，

即  ，所以

因为 ，所以 ，得

又因为 ，所以 ，得

(19)【详解】

方法1：把两边对求导，得：

令 ，则；

再令 ，

所以  ，

得  ，所以由格林公式知结论成立.

方法2： 是单连通区域，对于内的任意分段光滑简单闭曲线，为内的一曲线

在内与路径无关

同方法1，由  可证得上式.

因此结论成立.

(20)【详解】(I)系数矩阵未知量的个数为，且又有三个线性无关解，设是方程组的3个线性无关的解, 则是的两个线性无关的解. 因为线性无关又是齐次方程的解，于是的基础解系中解的个数不少于2, 得, 从而.

又因为的行向量是两两线性无关的, 所以. 所以.

(II)对方程组的增广矩阵作初等行变换:

  =

由, 得， 即 .

所以作初等行变换后化为；，

它的同解方程组                                        ①

①中令求出的一个特解；

的同解方程组是                                   ②

取代入②得；取 代入②得. 所以的基础解系为，

所以方程组的通解为：

，为任意常数

(21)【详解】(I) 由题设条件，，故是的对应于的特征向量，又因为线性无关，故至少是的二重特征值. 又因为的每行元素之和为，所以有，由特征值、特征向量的定义，是的特征向量, 特征值为，只能是单根，是全体特征向量，从而知是二重特征值.

于是的特征值为；属于的特征向量: ；属于的特征向量: ，不都为.

(Ⅱ) 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 .

先将单位化, 得.

对作施密特正交化, 得,.

作, 则是正交矩阵,并且 

(22)【详解】, 由于是分段函数，所以在计算时，要相应分段讨论. 求只是与有关，不必先求出的函数.

(I)  因为，当时，

当时，；

当时，；

当时，

综上所述，有

由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以，

这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，属于基本题型.

(Ⅱ) 由协方差的计算公式

需要计算，，.

；

；

.

故

(III) 根据二维随机变量的定义，有

由一维概率计算公式有，.

(23)【答案】的矩估计；的最大似然估计

【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于找出总体的矩.

最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数. 样本值中小于1的概率是，大于1的概率是. 因此，似然函数应为：

(I) 由数学期望的定义：

样本均值   

用样本均值估计期望有     即，解得.

所以参数的矩估计为.   其中.

(Ⅱ)   对样本按照或者进行分类，不妨设：，. 似然函数

，

在，时，等式两边同取自然对数得

，

由于和在的同一点取得最大值，所以令

，

解得，所以的最大似然估计值为.