2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) .

(2) 微分方程的通解是         .

(3) 设是锥面()的下侧，则

              .

(4) 点到平面的距离=         .

(5) 设矩阵，为阶单位矩阵，矩阵满足，则=         .

(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则=         .

二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(   )

(A)                  (B)

(C)                 (D)                                    

(8) 设为连续函数，则等于(   )

(A)                    (B)

(C)                         (D)         

(9) 若级数收敛，则级数(   )

(A)收敛.                                (B)收敛.

(C)收敛.                                   (D)收敛.          

(10) 设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(   )

(A)若，则.

(B)若，则.

(C)若，则.

(D)若，则.                                                 

(11) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是(   )

       (A)若线性相关，则线性相关.

       (B)若线性相关，则线性无关.

       (C)若线性无关，则线性相关.

(D)若线性无关，线性无关.           

(12) 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则(   )

(A)                                (B)

       (C)                                        (D)                

(13) 设为随机事件，且，则必有(   )

       (A)                      (B)

       (C)                      (D)          

(14) 设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且

则必有(   )

(A)                                      (B)

(C)                                      (D)                   

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设区域,计算二重积分 .

(16)(本题满分12分)

设数列满足 .

(I)证明存在,并求该极限 ；

(II)计算  .

(17)(本题满分12分)

将函数展开成的幂级数 .

(18)(本题满分12分)

设函数在内具有二阶导数，且满足等式

(I) 验证.

(II) 若求函数的表达式.

(19)(本题满分12分)

设在上半平面内,函数是有连续偏导数,且对任意的都有.

证明: 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有

(20)(本题满分9分)

已知非齐次线性方程组有个线性无关的解

(I) 证明方程组系数矩阵的秩;

(II) 求的值及方程组的通解.

(21)(本题满分9分)

设阶实对称矩阵的各行元素之和均为,向量是线性方程组的两个解.

(I) 求的特征值与特征向量

(II) 求正交矩阵和对角矩阵,使得.

(22)(本题满分9分)

    随机变量的概率密度为 

为二维随机变量的分布函数.求

(I) 的概率密度;         (II) .

(23)(本题满分9分)

设总体的概率密度为. 为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于的个数,求的最大似然估计.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题

(1)【答案】2.

【详解】由等价无穷小替换，时，，

=2

(2)