四、计算与证明题(50分)
1.(8分)证明实序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)有如下对称性质：
Re［X(ejω)］=Re［X(e-jω)］； Im［X(ejω)］=-Im［X(e-jω)］。
2.(10分)已知X(z)= ，分别求
(1)收敛域为0.5<｜z｜<2时的原序列x(n)
(2)收敛域为｜z｜>2时的原序列x(n)
3.(10分)滤波器的单位抽样响应为h(n)=u(n)-u(n-4)，求其系统函数，画出其横截型结构图。
4.(10分)画出8点按时间抽取的基2FFT算法的运算流图。
5.(12分)用双线性变换法设计无限长单位冲激响应(IIR)数字低通滤波器，要求通带截止频率ωC=0.5π rad,通带衰减δ1不大于3dB，阻带截止频率ωst=0.75π rad，阻带衰减δ2不小于20dB。以巴特沃思(Butterworth)模拟低通滤波器为原型，采样间隔T=2s。
附表：巴特沃思归一化模拟低通滤波器部分参数
阶数(N) 分母多项式sN+bN-1sN-1+bN-2sN-2+Λ+b1s+1的系数
b0 b1 b2 b3
1 1.0000
2 1.0000 1.4142
3 1.0000 2.0000 2.0000
4 1.0000 2.6131 3.4142 2.6131
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